什么叫函数，初中函数入门
各位老铁们好，相信很多人对什么叫函数都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于什么叫函数以及初中函数入门的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！
什么叫做函数
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。
最常见的函数的参数和函数值都是数，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例，
f(x)= x2，x的平方即是函数值。
也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如：
g(x,y)= xy有两个参量x和y，以乘积xy为值。与前面不同，这一“法则”与两个输入相关。其实，可以将这两个输入看作一个有序对(x, y），记g为以这个有序对(x, y）作参数的函数，这个函数的值是xy。
科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布，这一函数以地点和时间为参量，以某一地点、某一时刻的温度作为输出。
函数的概念并不局限于数的计算，甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛，而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来，使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数，如下文所述，被抽象定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性，函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。
历史
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。
1718年，约翰·贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析表达式”。例如f(x)= sin(x)+ x3。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。
通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。
正式定义
从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f（记作 f: X→ Y）是X与Y的关系，满足如下条件：
f是完全的：对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x f y（x与y是f相关的）。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。
f是多对一的：若x f y且x f z，则y= z。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。
定义域中任一x在对映域中唯一对应的y记为f(x)。
比上面定义更简明的表述如下：从X映射到Y的函数f是X与Y的直积X× Y的子集。X中任一x都与Y中的y唯一对应，且有序对(x, y)属于f。
X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为部分函数。函数都是部分函数，但部分函数不都是函数。除非特别指明，本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。
什么是函数
函数定义函数的传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
经典定义：在某变化过程中设有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于每一个给定的x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么y就是x的函数。其中x叫自变量，y叫x的因变量。另外，若对于每一个给定的y值，也都有唯一的x值与之对应，那么x也是y的函数了。
现代定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。
记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。用映射的定义：一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。向量函数:自变量是向量的函数叫向量函数 f（a1.a2，a3......an）=y对应、映射、函数三者的重要关系：函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}定义函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。简介函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。
数学中什么叫函数函数起什么作用
2009-01-08
20:41的答案很好，函数基本上就是这个意思。
在此基础上，我来进行一些解释，映射本质上是一种对应、一种法则、一种变换、一种关系……
就是：设，有2个非空集合a、b（这两个集合可以相等）
在其中一个集合a中的任何一个元素α，根据某关系，在另一个集合b中总能找到唯一一个元素β与之对应。
这种关系就是映射关系（或者说，把α变为β等等说法）
称β为α的像，称α为β的原像。称集合a为映射的定义域，称所有的像组成的集合为值域。
当a、b都是由数组成的集合时，我们有时叫这样的映射为函数。
再解释：
我们需要注意到一些问题，a为定义域，b不一定是值域，b与值域的关系为：值域是b的子集。
也就是说，映射允许b中可能有某些元素，在a中找不到原像的。但在a中任意一个元素，一定b中
找到像，而且是找到唯一一个元素作为像。
注意定义中的字眼，a中的“任意”元素，b中“总”能找到“唯一一个”元素……
例1：a为实数集，b为是实数集合。我们规定一个法则就是：求绝对值。
那么在a中的任意一个数x，在b中总能找到|x|与之对应，而且|x|只有一个。这么一个关系是映射关系。
或者说x经过映射，变成了|x|。在b中的一个数，比如-5，在a中，找不到任何一个数与它对应，
但没关系，找不到就找不到，映射的定义并没有禁止这种情况。但在a中，必须要求每个数都有像。
如果在b中，任何一个元素都有原像，这种的映射我们称为“满射”
例2：a为实数集，b为是实数集合。我们规定一个法则就是：把a中的任何一个元素加5，对应到b。
首先明确这个变换是一个映射，因为a中，任何数+5后，在b总能找到唯一一个数与之对应，
再看，b中任何一个数，都有原像，这个映射就是满射了。
还有，并不保证一个像，有唯一一个原像，可以有多个，映射的定义并不禁止这种情况。比如例1，
b中找到一个5，在a中，5是它的原像，-5也是他的原像。但，任何一个原像，只能有一个像。
如果任何一个像只有一个原像的，我们称这样的映射为“单射”，如例2。
如果一个映射，即满足是单射的条件又是满足是满射的条件，我们称这个映射是“双射”。
这是最初接触映射的例子，同时在映射、函数的定义下，以后还要
了解什么是逆映射（反函数）、周期函数、偶函数、奇函数等等概念。
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