用向量法证明余弦定理？向量三角形法则减法图解

一、余弦定理推导所用的向量公式

向量的余弦公式：cosα·secα=1。余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

二、用向量积证明正弦定理的方法和过程

正弦定理是指在一个三角形ABC中，三条边的长度a、b、c与其对应的角A、B、C之间存在以下关系：

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)

下面是使用向量积证明正弦定理的一种方法和过程：

1.假设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，边向量分别为a、b、c。将向量a和b的起点都设为原点，得到向量a和向量b的坐标分别为点A和点B的坐标。

2.假设点O为三角形的外心（即三条边的垂直平分线的交点），连接OA、OB、OC，得到向量OA、OB、OC。

3.根据向量积的定义，向量OA和向量OB的模长乘积等于它们夹角的正弦值乘以向量OA和向量OB所夹的平面的面积，即|OA|*|OB|=|OAxOB|*sin(∠AOB)。

4.同理，可以得到|OB|*|OC|=|OBxOC|*sin(∠BOC)和|OC|*|OA|=|OCxOA|*sin(∠COA)。

5.由于向量积的性质，有向量OAxOB=-OBxOA，向量OBxOC=-OCxOB，向量OCxOA=-OAxOC。因此，上述等式可以改写为|OA|*|OB|=|-OBxOA|*sin(∠AOB)，|OB|*|OC|=|-OCxOB|*sin(∠BOC)，|OC|*|OA|=|-OAxOC|*sin(∠COA)。

6.根据三角形的性质，可以得到∠AOB=C，∠BOC=A，∠COA=B。因此，上述等式可以进一步简化为|OA|*|OB|=|OBxOA|*sin(C)，|OB|*|OC|=|OCxOB|*sin(A)，|OC|*|OA|=|OAxOC|*sin(B)。

7.由于向量的模长等于边的长度，即|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，可以将上述等式改写为a*b=|OBxOA|*sin(C)，b*c=|OCxOB|*sin(A)，c*a=|OAxOC|*sin(B)。

8.根据向量积的性质，有|OBxOA|=|OCxOB|=|OAxOC|，因此上述等式可以进一步简化为a*b=c*sin(C)，b*c=a*sin(A)，c*a=b*sin(B)。

9.将上述三个等式整理合并，得到a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)

三、怎么用向量证明余弦定理

△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C∵AC+CB=AB在向量等式两边同乘向量j，得：j·（AC+CB）=j·AB∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)=│j││AB│cos(90°-A)∴asinC=csinA（AB的模=c，cos（90o-C）=sinC）（CB的模=a，cos（90o-A）=sinA∴a/sinA=c/sinC同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得c/sinC=b/sinB