将军饮马问题八大模型，将军饮马三角形周长最小

一、将军饮马问题

平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：①线段公理：两点之间，线段最短.并由此得到三角形三边关系；②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、②的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。

问题提出：

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

模型提炼：

模型【1】一定直线、异侧两定点

直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小

解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点

模型【2】一定直线、同侧两定点

直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小

解答：

第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题）

第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短

模型【3】一定直线、一定点一动点

已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小。

解答：

第一步：画点A关于直线l的对称点A'第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB最小即AP+PB最小

问题升级：

问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值

解答：将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D’D’’，而后研究D’D’’随着点D的位置变化过程中的最小值即可

无论点D位置在何处，点C对线段D’D’’的张角不变，即∠D’CD’’的大小不变，为2∠ACB.因而，为使得D’D’’最小，只需要CD’=CD’’=CD最小即可，显然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周长最小。

现在已经有CD⊥AB，接下来说明点E、点F也正好是△ABC的高线的垂足！如下图：D’、D、D’’三点在以C为圆心的圆上，

弧D’D所对圆心角为∠D’CD，

所对圆周角为∠D’D’’D，

故有：(1/2)∠D’CD=∠D’D”D.

由翻折又有：(1/2)∠D’CD=∠ECD，

得∠D’D”D=∠ECD，

故C、E、D、D’’四点共圆；

另一方面：∠CDB+∠CD”B=180°，

故C、D、B、D’’四点共圆，综上有：C、E、D、B、D’’五点共圆，从而∠CDB=∠CEB=90°

同理可证∠AFC=∠ADC=90°

从而得到一个重要结论：锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形周长最小。

二、为什么将军饮马要画对称点

是为了构造一个三角形,将军饮马问题都是动点问题,当动点P和其余两点A,B1在同一条直线上时,这个边小于其余任何一个动点和A,B1构成的线段之和。

三、十大将军饮马文字讲解

《十大将军饮马》是一首古代诗歌，描绘了十位将军在战场上英勇无畏的形象。诗中通过描写将军们饮马的场景，展现了他们的豪情壮志和英雄气概。

诗中运用了生动的比喻和形象的描写，使读者能够感受到将军们的英勇和威严。

这首诗歌不仅是对将军们的赞美，也是对战争中的英雄精神的颂扬。通过这首诗，我们可以了解到古代将军们的勇猛和坚韧，以及他们在战场上的英勇表现。