正定矩阵的判定方法 正定矩阵的定义和性质

一、为什么说正定矩阵必是实对称矩阵如何证明

判断矩阵是否为正定矩阵的前提是这个矩阵是实对称矩阵，正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵。

正定矩阵

1、广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。

2、狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。

二、正定矩阵的条件

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。

三、负定矩阵的判定

方法一:求出矩阵特征值,若全小于0则负定方法二:做相合变换得到相合标准形,若全为-1则负定方法三:乘以负一后证明其正定