矩阵相似的条件，方阵相似的判定

一、两个矩阵相似的充分必要条件

证明两个矩阵相似的充要条件：

1、两者的秩相等

2、两者的行列式值相等

3、两者的迹数相等

4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同

5、两者拥有同样的特征多项式

6、两者拥有同样的初等因子

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

任意两个3阶矩阵A,B相似的方法。

1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|,g(λ)=|λE-B|。

2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。

3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A,B相似。

4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根,即,

f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0,则矩阵A,B相似。

扩展资料：

相似矩阵定理：

定理1

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注：定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1）求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

推论：

若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。

对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使其为对角阵，则称方阵A可对角化。

定理2

n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

定理3

对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。

二、两矩阵相似的充分不必要条件

两者的秩相等；两者的行列式值相等；两者的迹数相等；两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；两者拥有同样的特征多项式；两者拥有同样的初等因子。

矩阵指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。

它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

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简正模式：

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。

求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出，称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。

三、两矩阵有相同的特征值的条件

只要AB=BA,且A和B都可对角相似化,那么A和B的特征向量就相同。

1）如果都是对称矩阵，那么特征值相同，能推出合同

2）如果两矩阵都可以相似对角化，则两矩阵特征值相同，能推出相似。

扩展资料：

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。