正定矩阵的判定(怎样判断是否是正定矩阵)

一、正定矩阵所有元素都是正的吗

正定矩阵所有元素不一定都是正的，如矩阵

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它是正定矩阵。

二、半负定矩阵的判定方法

一、正定矩阵判定：

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

二、判定一个矩阵半正定：

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。

三、负定矩阵判定：

1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。

2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。

4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

三、正定矩阵特征值有什么特点

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。