曲面积分 曲面积分ds转化为dxdy

一、曲面积分质心公式

曲线C的质心坐标：xˉ=∫xρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)dsyˉ=∫yρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)dszˉ=∫zρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)ds其中积分都是曲线C上的曲线积分。

曲线C的质心坐标：xˉ=∫xρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)dsyˉ=∫yρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)dszˉ=∫zρ(x,y,z)ds/∫ρ(x,y,z)ds其中积分都是曲线C上的曲线积分。

二、第三类曲面积分的计算方法

直接计算法——直角坐标下因为是在曲面上进行积分,所以曲面方程Z=Z(x,y)可以直接带入方程中。带入后消去了z,曲面积分转变成了在D(曲面在xoy上的投影)上的二重积分。由于故积分表达式可化为能把曲线/曲面方程带入积分函数计算的只有两种:曲线积分、曲面积分。不能代入计算的是:重积分

利用奇偶性被积函数若是关于x的奇函数,且积分曲面关于yoz前后对称,那么该积分等于0;若被积函数若是关于x的偶函数,且积分曲面关于yoz前后对称,那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。若对于y、z也有奇偶性,同理。

三、第二型曲面积分公式

1.直接投影法：适用于一个面的投影计算,即仅包含dxdy、dxdz或dydz中的任意一个也仅有一个时使用。通常用于补面用高斯公式时，计算补面时使用。

2.矢量点积法：这个例子仅为投影根据Z＝Z（x,y）法向量的坐标表示法（Zx＇，Zy＇，－1），并结合曲面积分符号来进行计算，主要应用于对坐标曲面积分式子中抽象函数以及两类面积分的联系计算中。一定要注意通过矢量点积法计算后原式还是个二类曲面积分,一定要用直接投影法判断正负。

3.高斯公式：应用于空心封闭体，以这个空心封闭体为参照，指向外侧为正，内侧为负。