qr分解，QR分解的应用

一、分解法的三种形式

1.LU三角分解：

三角分解法是将原正方(square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵。

2.QR分解：

QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为[Q,R]=qr(A)。

3.奇异值分解：

奇异值分解(singularvaluedecomposition,SVD)是另一种正交矩阵分解法。

4.LLT分解：

A=LL^TCholesky分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的（LU三角分解法的变形）。

5.LDLT分解法：

若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子阵均不为零，则A有如下惟一的分解形式：A=LDL^T其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆为零），L^T为L的转置矩阵。

二、qr分解求方程组的解优点

■雅可比正交相似变换，适用于实对称矩阵求特征值，且计算结果很准确；当用于非对称矩阵时收敛效果并不好。

■QR正交相似变换，一般认为对任意中小型矩阵都可求特征值，实际上最适合非对称矩阵，计算结果准确。对称矩阵用QR正交相似变换时，收敛效果反而不理想。