调和函数？怎么判断是不是调和函数

一、什么是调函数

调函数是一个在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。

二、调和函数性质

调和函数的第一个惊人性质是它的解析性，也就是说，调和函数在定义域内每一点是可以进行无穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说无穷次可导的。为什么说这个性质好呢？注意到，定义调和函数时我们仅仅要求它存在二阶偏导数，但实际上这样的定义只用极少的要求就保证了函数的光滑性，可谓化腐朽为神奇。

但解析性并非调和函数的本质特征，实际上，调和函数的最本质的性质是满足所谓的平均值原理。而且为了获得调和函数更好的性质，一般我们会在有界区域中考虑这些问题，还会要求函数具有连续或可导的边值。那么，什么是平均值原理呢？简单来说，就是函数u在一点x的值等于函数在以x为中心的球区域中体积积分或面积积分的平均值(通过简单的积分计算可以证明，这两种积分平均值是等价的)：

为什么说平均值原理是调和函数最本质的特征呢，这是因为调和函数几乎所有的重要性质都可以从平均值原理推导出来，例如上面说过的解析性。而且更重要的是，平均值性质完全刻画了调和函数，这就是如下的结论：

调和函数的另一个重要性质是极值原理：

调和函数如果不是常数，那么它不能在内部取到极大值或极小值。

由极值原理，我们立即可以获知，调和函数由其边值唯完全决定：

如果我们从更高的角度来看调和函数，也就是将定义△u=0看成是一个偏微分方程(准确来说是一个拉普拉斯方程)，那么调和函数就是这个方程的解，而极值原理就告诉我们，在给定边值的情况下，解是唯一的。实际上，如果区域足够特殊(一般来说是球)的话，我们是可以通过边值条件直接得到这个解的，而这又要涉及到泊松积分，泊松积分又要联系着格林函数。

三、什么叫做调和函数

是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。