泊松分布的方差，泊松过程的方差
一、泊松分布方差和均值关系
泊松分布的期望和方差均是λ，λ表示总体均值；P(X=0)=e^(-λ)。分析过程如下：求解泊松分布的期望过程如下：求解泊松分布的方差过程如下：泊松分布的概率函数为：对于P(X=0)，可知k=0，代入上式有：P(X=0)=e^(-λ)。
二、两个泊松分布的和的期望方差
泊松分布是一个离散型随机变量分布，其分布律是：
P(X=k)=λke?λk!
P(X=k)=λke?λk!
根据离散型随机变量分布的期望定义，泊松分布的期望：
E(X)=∑k=0∞k?λke?λk!
E(X)=∑k=0∞k?λke?λk!
因为k=0时：
k?λke?λk!=0
k?λke?λk!=0
所以：
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!
做一下变换：
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!=∑k=1∞λke?λ(k?1)!=∑k=1∞λk?1λe?λ(k?1)!=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!=∑k=1∞λke?λ(k?1)!=∑k=1∞λk?1λe?λ(k?1)!=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!
这里需要用到泰勒展开式，我们知道常用的泰勒展开式中：
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk?1(k?1)!
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk?1(k?1)!
因此，泊松分布的期望为:
E(X)=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!=λe?λeλ=λ
E(X)=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!=λe?λeλ=λ
对于方差D(X)D(X)，先求出E(X2)E(X2):
E(X2)=∑k=0∞k2?λke?λk!=λe?λ∑k=1∞kλk?1(k?1)!=λe?λ∑k=1∞(k?1+1)λk?1(k?1)!
E(X2)=∑k=0∞k2?λke?λk!=λe?λ∑k=1∞kλk?1(k?1)!=λe?λ∑k=1∞(k?1+1)λk?1(k?1)!
=λe?λ(∑m=0∞m?λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k?1)
=λe?λ(∑m=0∞m?λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k?1)
=λe?λ(λ?∑m=1∞λm?1(m?1)!+∑m=0∞λmm!)
=λe?λ(λ?∑m=1∞λm?1(m?1)!+∑m=0∞λmm!)
=λe?λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)
=λe?λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)
所以：
D(X)=E(X2)?(E(X))2=λ(λ+1)?λ2=λ
D(X)=E(X2)?(E(X))2=λ(λ+1)?λ2=λ
因此，泊松分布的期望和方差为：
E(X)=λ
E(X)=λ
D(X)=λ
三、为什么泊松分布中平均值等于方差
泊松分布是二项分布推来的，二项分布的方差=np(1-p)=均值(1-p),所以二项分布的方差小于均值，泊松情况下p趋于0，均值恰好等于方差。
现实角度来看，二项分布的方差和试验次数n成正比，但又小于均值。
在单位时间内固定均值，实验无穷多次，那均值正好就是方差的极限值