海涅定理 利用海涅定理求数列极限例题

一、怎么理解海涅定理

定理写得很明白了，你可以这样去理解：首先给定一个x_0（给定就是选一个后不再变了),再选一个它的邻域（比如说一给给定半径的，以x_0为球心的球），假如函数f(x)在这个给定的邻域上有定义，那么对于任意（就是所有的都成立，这样才能任意成立）收敛于x_0的数列（不能直接存在整数m，使得x_m=x_0,也就是说x_0不在数列{x_n}里面)，我们有：

然后回到题目，现在x_0有具体数目了，是0，那么根据定理，如果上面左边部分成立，由于是充要条件，那么右边也一定成立，反之亦然（充要条件你可以理解为一个满足的，两个都满足；一个不满足，两个都不满足）也就是所有的收敛于0的数列都应该有相同的函数值，但是我们可以找到两个收敛于0，却有不同函数值的数列，那么左边就不能成立了

二、高数题，海涅定理

设t＝1/x，那么原极限等价于求t趋于无穷大cost的极限(cost是偶函数，正负无穷是一样的)根据海涅定理，此极限等价于求序列cosnπ的极限而cosn的极限是不存在的，因为n取2k，k趋于无穷大时，n趋于无穷大，这个子列极限是1n取2k＋1，子列的极限是－1，那么两个子列极限不相等，cosnπ极限不存在，也就是原极限不存在。

三、多元函数的海涅定理

海涅定理是将函数极限与数列极限联系到一起的一个定理即函数极限等于数列极限如limn/n的平方＝limx/x平方