神经网络为什么可以拟合任何函数 bp神经网络为什么可以拟合任意非线性函数

大家好，今天我将向大家分享有关神经网络为什么可以拟合任何函数和bp神经网络为什么可以拟合任意非线性函数的一些独特见解，希望能够为你们带来新的思考和启示。

为什么神经网络能以任意精度拟合任意复杂度的函数

在开始之前，我们先来看一下维基百科给出的万能近似定理(Universal approximation theorem)

Universal approximation theorem(Hornik et al., 1989;Cybenko, 1989)定理表明：前馈神经网络，只需具备单层隐含层和有限个神经单元，就能以任意精度拟合任意复杂度的函数。这是个已经被证明的定理。下面我们用一种轻松的方式解释，为什么神经网络（理论上）可以拟合任何函数？

看过《神偷奶爸》这部电影的同学都知道，小黄人( Minions)非常喜欢吃香蕉。不过，现在它只有12个苹果，但它对苹果不感兴趣，想着如果谁能用香蕉换它的苹果就好了。不经意间，它发现了一个神奇的小屋。

小黄人向神奇小屋的窗户里放进一个苹果，神奇小屋什么也不会给它。小黄人又尝试向小屋的窗户里放进5个苹果，神奇小屋突然吐出16个香蕉！这下小黄人可高兴坏了。然后，小黄人又尝试扔给神奇小屋6个苹果，神奇小屋又吐出来20个香蕉。

现在，小黄人的12个苹果用完了，它抱着换来的香蕉想：如果我给它3个苹果，小屋会吐出来多少香蕉呢？

这是一道小学题(找规律)，如何解答？

你可能脱口而出，8个香蕉！！OK，好吧，说明你的智商可以学习AI这么高深的学科了~

如何使用机器学习的步骤解答这道小学生做的题目呢（你可能觉得这是杀鸡用了宰牛刀）。

我们使用变量 x 表示扔给神奇小屋的苹果数量（输入input），使用变量ŷ 表示神奇小屋吐出来的香蕉数量（输出Output），那么我们就得到了一个数据集(Data set)：

我们的目标是，构建一个数学模型(Model)，使得该模型满足数据集的隐含规律。即，向模型输入  x 的值，模型会输出对应的 ŷ 值。

小学生应该学过一元函数(y= wx+ b)。既然是小学题目，那么使用比较简单的函数应该就能模拟数据集的规律。所以我们定义了一个一元一次函数模型：

那么问题来了，我们怎样才能确定函数的两个参数w，b？

聪明的你可能又会脱口而出，是y= 4x+(-4)！！OK，你再次证明了你的智商已经超过小学生或者初中生。

但是小黄人没有你那么聪明，它只能猜。如果w=1， b=0，结果会是怎样？

很明显，模型的输出(预测)值 y 与实际数据集中的真实值ŷ 相差很大。小黄人不满意，又随机猜了一次。w=2，b=2，结果又是怎样呢？

嗯，这次模型的输出值 y与数据集中的真实值ŷ相差似乎不那么大了。小黄人就想，这两个候选模型，哪一个更好呢（更能模拟数据集中的规律）？如何将”更好“量化？

于是，我们引出损失函数(lost function)的概念。

将预测值 y与真实值ŷ之间的差值平方和，作为“更好”的一种量化。损失函数越小，即，预测值与真实值之间的差值越小，说明参数w，b越能模拟数据集中的规律。

有了损失函数，我们来看一看，上面两个候选模型的损失函数值各是多少。

模型 y= 2x+ 2的损失函数值L(2,2)= 68，小于L(1,0)= 318，所以候选模型y= 2x+ 2胜出。

小黄人是一个追求极致的人。损失函数值68虽然小于318，但是它还是很大呀，有没有其他参数w,b使得损失函数L(w,b)的值比68还小。

所以，我们又引出了优化器(Optimizer)的概念。

想办法找出使得损失函数值L(w,b)最小的参数w，b。由于小黄人没有学过梯度下降法(一种凸函数优化算法，不懂也没关系，现在用不到)，所以它只能使用....”随机尝试法“。

小黄人从参数w=2，b=2，开始，以步长为1进行随机尝试。即，在“加一减一”的范围内，尝试坐标点（2,2）周围的四个点:(3,2)、(2,3)、(1,2)、(1,1)。结果发现，在点（3,2）处，损失函数值小于其他三个点和原先点处的损失值。

所以，小黄人发现了一个更好的候选模型 y= 3x+ 2，其损失函数值为26，比68小的多。小黄人，很兴奋，用同样的方式又开始了尝试。以此类推，它接着发现了L(3,1)=17、L(3,0)=14两个坐标点。然而，在点（3,0）周围的尝试，都没有发现比14更小的损失函数值。

这样就结束了吗？

高智商的你，一定能想到，在点(4,-4)处，损失函数值最小：L(4,-4)=0。但是，用上述尝试方法并不能找到坐标点(4,-4)。

问题出在了哪儿？是初始点选择的问题。

小黄人发现，如果从坐标点（-2，-4）开始上述方式的尝试，最终会找到使得损失函数最小的(4,-4)点。如果深入研究，将涉及到最优搜索问题，超出本片文章的范围。

我们当前只需知道，能够通过最优方法（如，最小二乘法），找到使得损失函数最小的模型参数w，b。

上面这个故事就是线性回归？？

我们需要给出一个稍微严谨点的定义，来说明什么是线性回归。下面是《机器学习》（周志华著）中给出的一句话：

将这句话对应到我们的模型中。模型函数 y= 4x- 4就是句中学得的“线性模型”。然后，在我们的故事中，不是尽可能准确地预测真实值输出标记，而是百分百预测了真实值输出标记....损失函数值能够达到最小0。

其实，没那么简单......我们稍微扩展一下。

有一天，小黄人发现，如果给神奇小屋1个苹果、2个香蕉、3个梨，神奇小屋就会吐给它一只猫咪~喵喵喵~。真的太神奇了。。。。

这时，模型函数不再是简单的一元函数，而是三元函数，有三个输入变量(x1, x2, x3)，和4个参数(w1, w2, w3, b)需要优化。我们将这种情况称之为“多元线性回归(multivariate linear regression)”。其实这是图像识别的原型模型，我们不再深入探讨。

当小黄人发现了神奇小屋交换香蕉的规律后，非常非常高兴。它又找来了好多苹果，准备和神奇小屋交换香蕉。可是....生活就是这样。在你最得意的时候，往往会给你浇一盆凉水。

（注，这里将之前的数据集调整了一下，由x=1，5，6改为x=1,2,3。方便画图啦）

小黄人又尝试给神奇小屋4个和5个苹果，结果分别得到9个和10个香蕉。似乎哪里有点不对？？！如果按照之前发现的规律，应该分别得到12和20个香蕉呀。小黄人，百思不得其解。

这时，神奇小屋吐出来一张纸条，上面写着：如果你扔进来的苹果太多，我给你的香蕉将会减少。小黄人，有点郁闷。

如果按照之前一元函数的方式建模，将会得到如下函数模型。

你可能比小黄人聪明多了，一眼就看出来上面的模型函数好像不太合适。损失函数永远取不到最小值0。

如果模型函数是这样就好了，那么对应的损失函数值将会取到最小值0。可是，这好像是两个模型函数。一山不容二虎，能不能将这两个函数合成一个函数。

这时，你又脱口而出，分段函数！！事实证明，你的智商已经达到高中生水平。

当 x< 3时，s1等于1，s2等于0，函数 y= 4x- 4；

当 x>= 3时，s1等于0，s2等于1，函数 y=1x+ 5；

这才是完美的组合函数。

那么，问题又来了。s1和s2是什么？怎么确定？

如果把s2看成函数，那么理想情况下，应该是这样的阶跃函数。

然而阶跃函数具有不连续、不光滑等不太好的性质。

这时，小黄人悠悠地说，我好像见过一个跟这个函数有点像的连续函数，叫Sigmoid函数。

看到这个Sigmoid函数后，你很生气。对着小黄人说：人笨就少说话，这个函数和阶跃函数，哪里相像了，差的也太远吧！！怎么看怎么不像。

小黄人：你给变量t一个参数不就行了，改成σ(1000t)。（抠鼻）

如果不仔细看，几乎看不出在纵轴0到1之间，有个非常陡峭的曲线。你顿时无语，对小黄人刮目相看。

        当 x= 0.1时，s=σ(100)≈ 1；

        当 x=- 0.1时，s=σ(100)≈ 0；

稍微对这个Sigmoid函数做些调整，就能得到我们需要的各种阶跃函数。

这样的话，我们就得到了新的模型函数，y=(4x- 4)σ(-1000x+ 3000)+(1x+ 5)σ(1000x- 3000)；

如，当 x= 4时， y=(12)σ(-1000)+(9)σ(1000)= 12*0+ 9*1= 9，与数据集相符。

在这个过程中，小黄人还是有功劳的，提出了激活函数的概念。

下面我们看一下稍微严谨点的逻辑回归定义。

这一句话就够了。在第一节中我们已经学习线性回归模型 y= wx+ b。观察图，能够发现，逻辑回归其实就是在线性回归的结果上在再使用一次激活函数 y= σ(wx+ b)。线性回归模型(y= wx+ b)的预测值y可以是一个任意实数{-∞,∞}，而逻辑回归模型(y= σ(wx+ b))的预测值y只能是{0， 1}之间的实数。如果能够搞明白线性回归与逻辑回归的联系，说明你已经掌握两者的本质含义。

小黄人想，虽然给的香蕉数量少了些，最起码小屋吐出来的香蕉比扔进去的苹果多嘛。于是，小黄人又尝试向神奇小屋里扔进去了7个和9个苹果。

结果，神奇小屋两次都只返还出来10个香蕉。这下小黄人傻眼了。

虽然小黄人在其他事情上比较笨，但是只要与香蕉相关，它可精明的多。刚刚5个苹果就能换10个香蕉，现在9个苹果才能换10个香蕉！！明显自己吃亏了。但是，它又非常不喜欢吃苹果，只能强忍怨气，攒着一股劲，一定要把里面的规律找出来。

经过之前的套路，机智的你，一定能想到解决办法。

对，就是这样。将数据集分成三块，分别构建线性模型函数，然后利用激活函数，组合起来。

问题再次出现。

当 x< 3时，s1=σ(-1000x+ 3000)= 1，其他情况为0；

当 x>= 5时，s3=σ(1000x- 5000)= 1，其他情况为0；

当 3<= x< 5时，s2=？？

不知道聪明的你有没有注意到，函数 s1和 s3都是以 x作为未知变量。如果我们转换一下思路，将 s2看成是 s1和 s3的二元函数。即，s2是否等于1或0，由 s1和 s2的值决定。

s2=σ(-1000s1- 1000s2+ 500)

虽然得到的香蕉数目不再增加，但是这么复杂的问题都能解决掉（使用线性回归和逻辑回归相结合，对数据集建模），小黄人还是有点小高兴。反正它手里还有些苹果，于是它又尝试向神奇小屋里丢进去了10、11、12个苹果。结果...小黄人崩溃了！！

神奇小屋传出来纸条说：做人不能贪得无厌，要见好就收，知足常乐。小黄人崩溃了。现在只留下一个未被解决的难题----怎么对数据集进行建模。

即使你很聪明，似乎也只能解决其中的两步。

  取 s1=σ(-1000x+ 3000)，即，当 x< 3时，s1= 0；

  取 s4=σ(1000x- 9000)，即，当 x>= 9时，s4= 0；

那么 s1和 s2该如何确定？

根据之前的经验，你大致可以确定s1和s2应该由s1和s4的值确定。

后续......

假设现在我们有许多数据集，

梳理一下流程

重点来了

免喷声明：本文借鉴(chao xi)牛津大学xDeepMind 自然语言处理公开课

bp神经网络为什么可以拟合任意非线性函数

样本变量不需要那么多，因为神经网络的信息存储能力有限，过多的样本会造成一些有用的信息被丢弃。如果样本数量过多，应增加隐层节点数或隐层数目，才能增强学习能力。一、隐层数一般认为，增加隐层数可以降低网络误差（也有文献认为不一定能有效降低），提高精度，但也使网络复杂化，从而增加了网络的训练时间和出现“过拟合”的倾向。一般来讲应设计神经网络应优先考虑3层网络（即有1个隐层）。一般地，靠增加隐层节点数来获得较低的误差，其训练效果要比增加隐层数更容易实现。对于没有隐层的神经网络模型，实际上就是一个线性或非线性（取决于输出层采用线性或非线性转换函数型式）回归模型。因此，一般认为，应将不含隐层的网络模型归入回归分析中，技术已很成熟，没有必要在神经网络理论中再讨论之。二、隐层节点数在BP网络中，隐层节点数的选择非常重要，它不仅对建立的神经网络模型的性能影响很大，而且是训练时出现“过拟合”的直接原因，但是目前理论上还没有一种科学的和普遍的确定方法。目前多数文献中提出的确定隐层节点数的计算公式都是针对训练样本任意多的情况，而且多数是针对最不利的情况，一般工程实践中很难满足，不宜采用。事实上，各种计算公式得到的隐层节点数有时相差几倍甚至上百倍。为尽可能避免训练时出现“过拟合”现象，保证足够高的网络性能和泛化能力，确定隐层节点数的最基本原则是：在满足精度要求的前提下取尽可能紧凑的结构，即取尽可能少的隐层节点数。研究表明，隐层节点数不仅与输入/输出层的节点数有关，更与需解决的问题的复杂程度和转换函数的型式以及样本数据的特性等因素有关。

BP神经网络可以用于拟合函数吗

可以。

既然是函数拟合，那么事先就已经有函数表达式了。拟合的只是函数表达式中未知的参数。用神经网络对函数进行拟合，输出的就是未知参数的高精近似值。

人工神经网络就是模拟人思维的第二种方式。这是一个非线性动力学系统，其特色在于信息的分布式存储和并行协同处理。虽然单个神经元的结构极其简单，功能有限，但大量神经元构成的网络系统所能实现的行为却是极其丰富多彩的。

扩展资料：

如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。

一组观测结果的数字统计与相应数值组的吻合。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。拟合的曲线一般可以用函数表示，根据这个函数的不同有不同的拟合名字。

在MATLAB中可以用polyfit来拟合多项式。

拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。

参考资料来源：百度百科-拟合

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