gamma函数，gamma系数计算公式

一、伽马分布的特殊函数

伽玛分布（GammaDistribution）是统计学的一种连续概率函数，是概率统计中一种非常重要的分布。“指数分布”和“χ2分布”都是伽马分布的特例。

Gamma分布中的参数α称为形状参数（shapeparameter），β称为逆尺度参数。

Gamma分布的特殊形式

当形状参数α=1时，伽马分布就是参数为γ的指数分布，X~Exp（γ）。

当α=n/2，β=1/2时，伽马分布就是自由度为n的卡方分布，X^2(n)。

二、伽马分布特征函数

当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma

数学表达式

若随机变量X具有概率密度

其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α，β的伽马分布，记作G(α,β).

性质：

1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中,如一个复杂系统中从第1次故障到恰好再出现n次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n只船到达所需的时间都服从Erlang分布；

2、当α=1,β=1/λ时，Γ(1,1/λ)就是参数为λ的指数分布,记为exp(λ)；

3、当α=n/2，β=1/2时，Γ(n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2(n)分布。

4、数学期望(均值)、方差分别为

对于Γ(a,β)，E(X)=a/β，D(X)=α/(β*β)

5、(Gamma分布的可加性)：设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，并且都服从Gamma分布，即Xi～Γ(αi,β)，i=1,2,…,n,则：

X1+X2+…+Xn～Γ(α1+α2+…+αn,β)。

三、gamma系数计算公式

伽玛函数表达式：Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt(积分的下限是0,上限是+∞)

利用分部积分法可以得到Γ(x)=（x-1)*Γ(x-1),而容易计算得出Γ(1)=1,由此可得,在正整数范围有：Γ(n+1)=n!

Γ（n+1）=Γ（n）=n