柯西判别法 正项级数的根式判别法

一、柯西根值判别法

中文名是根值审敛法，外文名 Roottest/Cauchyroottest/Cauchy'sradicaltest，别名是柯西判别法。

根值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，由法国数学家柯西首先发现。

二、柯西判别法使用条件

柯西判别法：如果一个级数的每一项都是正的，那么计算a[n]开n次方的n趋于无穷时的上极限；如果这个值是大于1的，那么这个级数是发散的；如果小于1，那么级数是收敛的。如果等于1，那么还需要更精细的比值判别法。

判断反常积分的收敛有比较判别法和Cauchy判别法。定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。

反常积分存在时的几何意义是函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。

三、阿贝尔判别法充分性的证明

阿贝尔判别法是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。

实数项级数的阿贝尔判别法

给定两个实数项数列?和?，如果数列满足

?收敛

?是单调的，?

则级数

?

收敛。

复数项级数的阿贝尔判别法

一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果

?

而级数

?

在|z|<1是收敛，而在|z|>1时发散，系数{an}是正的实数，当n>m时单调递减并收敛于零，则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛，除了z=1以外。当z=1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换ζ=z/R，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R≠1的幂级数的收敛性。

证明

假设z是单位圆上的一个点，z≠1。则

?

所以，对于任何两个正整数p>q>m，我们有

?

其中Sp和Sq是部分和：

?

但是，由于|z|=1，而当n>m时，an是单调递减的正实数，我们又有

?

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z≠1时收敛，因为sin(?θ)≠0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的q，来使aq+1小于任何给定的ε>0。