中值定理，拉格朗日中值定理的证明过程

一、平均值定理中值定理

平均值定理的陈述如下：若电位Φ中在任意闭合域V内满足▽2Φ=0，则V内任意点P的电位Φ等于V内以P点为中心的任何球面上Φ的平均值。

中值定理，是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

二、三角形中值定理

三角形中位线定理

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2

过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）

∴△ADE≌△CGE（A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立

2中线性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c。

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形中线长：

ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2；

mb=(1/2)√2c2+2a2-b2;

mc=(1/2)√2a2+2b2-c2。

(ma，mb，mc分别为角A，B，C所对的中线长)

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

三、中值定理，中值是什么意思

其实中值定理是有具体意义的。简单说，中值就是一个函数在某个区间或者区域中间的值。中值定理主要通过函数在区域边界或者区间端点的值去表示中间的值。有了中值定理，就可以帮助我们估算函数在整个区域或者区间里大致情况。数学上估算中值的方法大体上有利用微分（导数）的方法和利用积分的方法。因此也有微分中值定理和积分中值定理之分。

在现实计算中，我们很有可能只能观测到函数在边界或者区间端点的值。比如，在作电测量时，间断测量结果就是区间端点的值。基于中值定理，就可以估算它在区间上其它地方的值。因此，中值定理通常与最大、最小估值相关。数学本身是研究数值的，也不能说它不讲意义，它与其它事物之间的映射是一对多的。直观理解是抽象发展的基础。不能一概而论说数学不讲意义。