黎曼函数的极限，函数极限特殊极限

编程之家2026-07-03674次浏览

大家好，如果您还对黎曼函数的极限不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享黎曼函数的极限的知识，包括函数极限特殊极限的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！

根据定义就行了，分别讨论有理点和无理点处的导数。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

柯西收敛准则数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n> N时，且m≠n，我们把满足该条件的{Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{Xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

黎曼函数在任何一点处极限均为0的证明如下：

对于x0∈的情况：

分析黎曼函数的值：

当x为无理数或0、1时，r=0。当x为内的有理数时，r=1/q，其中p/q为既约真分数。确定大于等于ε的点：

对于任意给定的正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点。由于黎曼函数的正数值都是1/q的形式，且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，因此这些点是有限的。构造去心邻域：

设这些点与x0的最小距离为δ。则在x0的半径为δ的去心邻域中，所有点的函数值均在[0,ε)中。得出结论：

根据极限的定义，黎曼函数在x>x0时的极限为0。对于x=0的情况：

证明过程与x0∈时完全相同，只需考虑x趋近于0时的极限情况。由于在x=0的任意小邻域内，除了x=0本身以外，其他点的函数值要么为0，要么为小于任意给定正数ε的某个1/q。因此，黎曼函数在x>0时的极限也为0。综上所述，黎曼函数在任何一点处的极限均为0。

规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：

证明：∀x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.

证：由R(x)周期性，只考虑[0,1]中的点，即证x0∈[0,1]，lim(x→x0)R(x)=0.

在[0,1]中，分母为1的数：0/1，1/1

分母为2的数：1/2

分母为3的数：1/3，2/3

…

分母为k的数：至多k个，k是正整数

对任意正整数k，[0,1]上分母≤k的有理数有限个

由函数极限定义：

∀ε＞0，找δ＞0，记k=[1/ε]，在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn

令δ=min{|ri-x0|}(1≤i≤n，ri≠x0)

∀x∈[0,1](0＜|x-x0|＜δ)：

(i)x无理数，R(x)=0

(ii)x有理数，分母＞k(前面规定k有限，这里分母＞k理所当然)

k=[1/ε]，x的分母≥[1/ε]+1，则R(x)≤1/([1/ε]+1)＜1/1/ε=ε

合起来就有

|R(x)-0|＜ε

∴lim(x→x0)R(x)=0.

结论：黎曼函数在无理数连续，在很小一部分有理数不连续.

∀ε＞0，在[0,1]上R(x)≥ε的点至多有限个.

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