三角函数基本公式(高中三角函数公式大全完整版)
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三角函数12个基本公式
三角函数12个基本公式：sinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/x、cotθ=x/y、secθ=r/x、cscθ=r/y、sina=tana*cosa、cosa=cota*sina、tana=sina*seca、cota=cosa*csca、seca=tana*csca、csca=seca*cota。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系称为三角恒等式。
三角函数的反函数：
三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）。
反三角函数主要是三个：
y=arcsin（x），定义域[-1,1]，值域[-π/2，π/2]，图象用红色线条。
y=arccos（x），定义域[-1,1]，值域[0，π]，图象用蓝色线条。
y=arctan（x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条。
常用三角函数基本公式有哪些
三角函数基本公式包括三角函数半角公式、三角函数倍角公式、三角函数两角和与差公式、三角函数积化和差公式等等，接下来分享具体内容。
三角函数基本公式三角函数半角公式
sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))
三角函数倍角公式
Sin2A=2SinA*CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
三角函数两角和与差公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cossinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
三角函数积化和差
sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
三角函数和差化积
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
三角函数的万能公式
sin(A)=[2tan(A/2)]/[1+tan2(A/2)]
cos(A)=[1-tan2(A/2)]/[1+tan2(A/2)]
tan(A)=[2tan(A/2)]/[1-tan2(A/2)]
三角函数半角公式推导过程已知公式
sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos²A-sin²A=2cos²A-1=1-2sin²A①
半角正弦公式
由等式①，整理得：sin²A=1-cosA/2
将A/2带入A，整理得：sin²A/2=1-cosA/2
开方，得sinA/2=±√((1-cosA)/2)
半角余弦公式
由等式①，整理得：cos2A+1=2cos²A
将A/2带入，整理得：cos²A/2=cosA+1/2
开方，得cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)
半角正切公式
tan(A/2)=[sin(A/2)]/[cos(A/2)]=±√((1-cosA)/((1+cosA))
三角函数的基本公式
三角函数的基本公式包括：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
它们表示商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
此外，还有常用的两个公式：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tanα*cotα=1
一个特殊公式：
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)= sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明如下：
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)= 2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2]* 2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]= sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式：
坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h/ l,坡度的一般形式写成 l: m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a（叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.
锐角三角函数公式：
正弦：sinα=∠α的对边/∠α的斜边
余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式：
正弦：sin2A=2sinA·cosA
余弦：1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切：tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式：
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a= tan a· tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导：
sin(3a)= sin(a+2a)= sin2acosa+cos2asina= 2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina= 3sina-4sin^3a
cos3a= cos(2a+a)= cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa= 4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a= 4sina(3/4-sin²a)= 4sina[(√3/2)²-sin²a]= 4sina(sin²60°-sin²a)= 4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)= 4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]= 4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa= 4cosa(cos²a-3/4)= 4cosa[cos²a-(√3/2)^2]= 4cosa(cos²a-cos²30°)= 4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)= 4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]= 4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
n倍角公式：
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）。其中R=2^（n-1）
证明：当sin（na）=0时，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】这说明sin（na）=0与{sina-sin（π/n）}*{sina-sin（2π/n）}*{sina-sin（3π/n）}*……*{sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。所以sin（na）与{sina-sin（π/n）}*{sina-sin（2π/n）}*{sina-sin（3π/n）}*……*{sina- sin【（n-1）π/n】成正比。而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以{sina-sin（π/n）}*{sina-sin（2π/n）}*{sina-sin（3π/n）}*……*{sina- sin【（n-1π/n】与sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（系数与n有关，但与a无关，记为Rn）。然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2，所以Rn=2^（n-1）
半角公式：
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
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