高中反函数定义 反函数的概念
很多朋友对于高中反函数定义和反函数的概念不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！
高中数学 反函数的定义
好吧，一个函数的反函数，粗略的说，就是函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，且当有f(x)=y时，必有f-1(y)=x,即函数与反函数关于直线y=x对称。
我们这几天高三补课，所以提供一种你的补充问题的解法
老师说，求什么设什么，所以设对称直线的任意一点为A(x,y)那么关于已知直线的对称直线的原函数的点就为C(2a-x,2b-y)，解释一下，B(a,b)是中间那条直线的点，其中ABC三点共线且垂直于中间直线。（这个应该很好理解吧），然后把c点带入已知原函数的解析式，求得的关于x,y的方程即为要求的函数解析式
高中数学基础02:反函数与基本初等函数
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。
（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；
（2）函数存在反函数的[充要条件]是，函数的[定义域]与[值域]是[一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应[区间]上[单调性]一致；
（4）大部分[偶函数]不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且 f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。[奇函数]不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个[奇函数]存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（7）反函数是相互的且具有唯一性；
（8）[定义域]、[值域]相反对应法则互逆（三反）；
（9）反函数的[导数]关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I}内也可导，且：
（10）y=x的反函数是它本身
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。
一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x 0、y=x 1、y=x 2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x 0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
当α=0时，幂函数y=x a有下列性质：
a、y=x 0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R。对于一切指数函数来讲，值域为(0，+∞)。
指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为exp( x)。还可以等价的写为 e x，这里的 e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
①
②
③
④
一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：
如果a x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
正弦函数：y=sin x
对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z)
对称中心：(kπ,0)(k∈Z)
余弦函数：y=cos x
对称轴：x=kπ(k∈Z)
对称中心：kπ+π/2,0)(k∈Z)
正切函数：y=tan x
对称轴：无
对称中心：(kπ/2+π/2,0)(k∈Z)
余切函数：y=cot x
对称轴：无
对称中心：(kπ/2,0)(k∈Z)
正割函数：y=sec x
对称轴：x=kπ(k∈Z)
对称中心：(kπ+π/2,0)(k∈Z)
余割函数：y=csc x
对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z)
对称中心：(kπ,0)(k∈Z)
反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦 arcsin x，反余弦 arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数 y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数 y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数 y=arccot x的主值限在0<y<π。
正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域 [-1，1]，值域 [-π/2，π/2]。 [1]
余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1]，值域[0，π]。 [1]
正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。 [1]
余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx
，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。 [1]
正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。 [1]
余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。 [1]
在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数 f(x)=4，因为 f映射任意的值到4，因此 f是一个常数。更一般地，对一个函数 f: A→B，如果对 A内所有的 x和 y，都有 f(x)=f(y)，那么， f是一个常数函数
反函数存在的意义
严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
函数在某区间上是单调的，则其存在反函数，如y=x，若不单调，则其反函数属于多值函数(高中研究单值反函数)，所以可认为这类函数不存在反函数。
互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称。函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的，一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致，偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数。
扩展资料：
注意事项：
1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。
4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。
5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。
参考资料来源：百度百科-反函数
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