反函数四大基本性质 反函数的性质及意义

很多朋友对于反函数四大基本性质和反函数的性质及意义不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

反函数的性质

因为单调函数的y和x是一一对应的，不会出现f(x1)=f(x2)的情况，这就使得当y为自变量时，有且只有一个x0与y0对应，不会出现一个y0对应多个x0的情况，所以这样的反函数存在。

如果你有学过映射的话，就会发现函数要求是定义域上的单射，而单调函数是双射，所以交换时也必是单射。

y=1/x在它的两支内都是单调的，且不会出现两支的定义域或值域重合的情况，所以它的反函数也存在。

第一句后面应该说的是反之不成立吧，反函数存在，原函数不一定单调。否则就会出现像反比例函数这样有跳跃间断的函数了。或者你加强要求连续函数的反函数存在，原函数一定单调。

反函数的定义及性质

反函数定义：

一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，通常为了与习惯一致，我们对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)。

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且 f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

扩展资料

反函数求解步骤：

①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域

②由y=f(x)反解出x=f-1(y)，即把x用y表示出来

③将x，y互换的：y=f-1(x)，并写出反函数的定义域

例题：求f(x)=ex-1的反函数f-1(x)的解析式

解：

∵f(x)=ex-1，可知f(x)的值域为(-1，+∞)

已知y=ex-1

可得ex=y+1，即得：x=ln(y+1)

∴f-1(x)=ln(x+1)，且x∈(-1，+∞)

参考资料来源：百度百科-反函数

反函数的性质有哪些

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

( 2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且 f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C},值域为{0}.）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一切隐函数具有反函数；

( 6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；

（8）反函数是相互的且具有唯一性；

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。

例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x

例题：求函数y=3x-2的反函数

解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。

由y=3x-2，解得

x=1/3(y+2)

将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是

y=(x+2)/3（x属于R）

（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f’（y）≠0，那么它的反函数y=f’（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I}内也可导，且[f‘（x)]'=1\[f’（x）]'。

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