分段函数单调性 分段函数单调性怎么样讨论

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关于分段函数单调性问题

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

函数的单调性

例5讨论函数f(x)=的单调性。

解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x<0时，f(x)=-x2-4x-10，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。

分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。

高中数学分段函数单调性应用求参数取值范围

分析：分段函数在其定义域内是增函数必须满足两个条件：

①每一段都是增函数；

②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最大值(或上边界)，小于等于自变量取值大的一段函数的最小值(或下边界)。

分段函数在其定义域内是减函数必须满足两个条件：

①每一段都是减函数；

②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最小值(或下边界)，大于等于自变量取值大的一段函数的最大值(或上边界)。

如何求解分段函数单调性相关的问题

解题步骤：

第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；

第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；

第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；

第四步得出结论.

【例】已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是（）

A． B． C． D.

【解析】

若在上是增函数，

易判断在区间单调递增，

函数在单调递增，

所以只需满足，

解得，

所以答案为C

【点评】

本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：

其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；

其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.

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