反函数求导与原函数的关系？反函数求导法则公式

编程之家2026-06-25809次浏览

大家好，今天来为大家解答反函数求导与原函数的关系这个问题的一些问题点，包括反函数求导法则公式也一样很多人还不知道，因此呢，今天就来为大家分析分析，现在让我们一起来看看吧！如果解决了您的问题，还望您关注下本站哦，谢谢~

设dy/dx=y',则dx/dy=1/y'，应视为y的函数

则d2x/dy2

=d(dx/dy)/dy（定义）

=d(1/(dy/dx))/ dy

=d(1/(dy/dx))/dx* dx/dy（复合函数求导，x是中间变量）

=-y''/(y')^2*(1/y')

=-y''/(y')^3

所以，反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数

扩展资料

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

说实话，解释起来很麻烦，也很难懂。还是用图形来说明吧。

你看函数y=f(x)=3^x他的反函数即为g(x)=log3 x。

这两个函数的图像很容易画出来的，观察图像我们可以发现这两个函数的图像是成轴对称的，关于直线y=x对称。这是通用的，你可以记住，直接用。

所以，如果函数y=f(x)经过点（c，d），则反函数经过点（d，c）。

你上边那个问题有点出错，应该说f(x)的反函数等于a，则f（a）等于x。意思是假设g(x)=a，则f(a)=x。很容易理解的，就因为它们的对成性。不用多想，越想越糊涂的。

原函数的导数等于反函数导数的倒数。

设y=f(x),其反函数为x=g(y),

可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx,dx=(dg/dy)dy.

那么,由导数和微分的关系我们得到,

原函数的导数是 df/dx= dy/dx,

反函数的导数是 dg/dy= dx/dy.

所以,可以得到 df/dx= 1/(dg/dx).

扩展资料：

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

参考资料：

反函数_百度百科

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