欧拉函数证明(欧拉函数积性定理证明)

编程之家2026-06-25697次浏览

各位老铁们好，相信很多人对欧拉函数证明都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于欧拉函数证明以及欧拉函数积性定理证明的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！

欧拉函数：对任意大于1的正整数x，[1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)

其中pi为x所有的质因数（i=1, 2,..., n）

证明：

当x=2时，仅有1与x互质，仅有1个质因数2，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1,欧拉函数成立。

当x=p^k时，其中p为质数，k为正整数，则与x不互质的正整数为p, 2p,..., x,即p(1, 2,..., x/p),除此之外的数均与x互质，因此互质的个数为x-x/p=x(1-1/p),欧拉函数成立。

当x=(p1^k1)*(p2^k2)时，根据定理，两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数，因为(p1^k1)与(p2^k2)互质，因此：

f((p1^k1)*(p2^k2))= f(p1^k1)*f(p2^k2)=p1^k1(1-1/p1)*p2^k2(1-1/p2)=(p1^k1)*(p2^k2)*(1-1/p1)*(1-1/p2)

即 f(x)= x(1-1/p1)*(1-1/p2)，欧拉函数成立。

当x=(p1^k1)*(p2^k2)*...*(pt^kt),其中t>=3时，因为(p1^k1)与(p2^k2)*...*(pt^kt)互质，因此

f(x)= f(p1^k1)* f((p2^k2)*...*(pt^kt)),

同理不断展开，即

f(x)= f(p1^k1)* f(p2^k2)*...* f(pt^kt)=(p1^k1)*(1-1/p1)*(p2^k2)*(1-1/p2).........*(pt^kt)*(1-1/pt)

=(p1^k1)*(p2^k2)*...*(pt^kt)*(1-1/p1)*(1-1/p2)*....*(1-1/pt)

= x(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pt)

证明完毕

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。

当R=2时。

由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。

即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。

当R=2时。

由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。

即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

OK，关于欧拉函数证明和欧拉函数积性定理证明的内容到此结束了，希望对大家有所帮助。