反函数求导公式二阶推倒(反函数的高阶求导)

大家好，今天小编来为大家解答反函数求导公式二阶推倒这个问题，反函数的高阶求导很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

反函数求导法则,并推导一下二阶导数公式

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：

设x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2

如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解

设

,则

，应视为y的函数[1]

则

=

（定义）

=

=

（复合函数求导，x是中间变量）

=

=

所以，反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。

反函数求二次导

函数y=f(x)的反函数x＝f(y)

推导步骤如下：

y=f(x)

要求d^2x/dy^2

dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'

d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy

=-y''/y'^2*1/y'

=-y''/y'^3

扩展资料：

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

如何推导反函数的导数公式

推导步骤如下：

y=f(x)

要求d^2x/dy^2

dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'

d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy

=-y''/y'^2*1/y'

=-y''/y'^3

拓展资料：

反函数的导函数：

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'(y)不等于零，则它的反函数y=f-1(x)在区间内也可导，且或，用自然语言来说就是，反函数的导数，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。

参考资料：百度百科-反函数

好了，关于反函数求导公式二阶推倒和反函数的高阶求导的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！