三角函数的基本概念，三角函数通俗理解

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三角函数基本概念

对于0°-360°角的三角函数，可以用坐标系给出定义：

x轴正方向定为 0°，逆时针转动得到角的终边。取角终边上的一点P(x,y)，算出P到原点的距离为r，则该角的正弦为y/r，余弦为x/r，其余类似。

例如，第二象限角为90°-180°开区间，x<0，y>0，故余弦<0，正弦>0。

“参考角”只是个运算工具，把三角函数转换成0°-90°的值然后加正负号罢了，只要能推出要求的值即可，变换过程没有统一标准。

三角函数的概念

概念

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

公式

基本性质

在直角坐标系中，的半径为1，任意角的三角函数定义如下:

正弦:角与单位圆的交点A的纵坐标与圆半径的比值叫做正弦.

余弦:角与单位圆的交点A的横坐标与圆半径的比值叫做余弦.

正切:角与单位圆的交点A的纵坐标与横坐标的比值叫做正切.知识拓展

用角的终边上一点的坐标定义任意角的三角函数.

更多拓展公式

三角函数的定义

锐角三角函数

锐角三角函数(3张)在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式： sin∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长， tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切；当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 sinA=cosB sinB=cosA

常见三角函数

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：基本函数英文表达式语言描述

正弦函数 Sine sinθ=y/r角θ的对边比斜边

余弦函数 Cosine cosθ=x/r角θ的邻边比斜边

正切函数 Tangent tanθ=y/x角θ的对边比邻边

余切函数 Cotangent cotθ=x/y角θ的邻边比对边

正割函数 Secant secθ=r/x角θ的斜边比邻边

余割函数 Cosecant cscθ=r/y角θ的斜边比对边

在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。 sinπ/3

非常见三角函数

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名与常见函数转化关系

正矢函数 versinθ=1-cosθ

余矢函数 coversθ=1-sinθ

半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2;

半余矢函数 hacoversθ=(1-sinθ)/2;

外正割函数 exsecθ=secθ-1

外余割函数 excscθ=cscθ-1

单位圆定义

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，三角函数

单位圆的方程是：x^2+y^2=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的 x和 y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ= y/1和 cosθ= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中，在角 kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+ 1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k+ 1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+ 1/2)π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+ 1/2)π的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别三角函数

是，对于这个圆的弦 AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离 OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过 A的切线的线段 AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段 AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA沿着 A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。

三角函数线

依据单位圆定义，我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。 1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；

三角函数(8张)正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边；正割（sec)等于斜边比邻边；余割(csc)等于斜边比对边。 2、互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系商数关系： sinA/cosA=tanA·平方关系： sin^2(A)+cos^2(A)=1·积的关系： sinA=tanA·cosA cosA=cotA·sinA cotA=cosA·cscA tanA·cotA=1·倒数关系：直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边 4、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时， tanA>0, cotA>0.特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2√2/2√3/2 1← sinA 1√3/2√2/2 1/2 0← cosA 0√3/3 1√3 None← tanA None√3 1√3/3 0← cotA“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

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