黎曼函数可积？黎曼可积定义

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黎曼函数可积吗

黎曼函数可积。首先，黎曼函数在无理数点是连续的，由于稠密，因此对于一个数附近的无理数点，显然函数值之差为0，对于有理数点由于稠密，可以用有理数点来逼近这个无理数，也就是说连续满足，接下来由于不连续点是有理数，而有理数在这个范围内是零测集，所以可积，由达布定理，可积的话上积分和下积分相等，而下积分是0(每个小区间一定存在一个无理数)，因此积分是0。黎曼函数方程与欧拉公式都作为数学上最美丽的方程之一，具有迷人的对称性，在工程分析实例中非常容易用到。

黎曼函数可积吗(黎曼函数是否可积)

1.黎曼函数可积。

2.黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p，q都属于正整数，p/q为既约真分数)。

3.R(x)=0，当x=0，1和(0，1)内的无理数。

4.函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

5.函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y和x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

6.其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

证明黎曼函数可积

对任意的e>0，函数值>e的点只有有限个（1/q>e等价于q<1/e，q是正整数，有限），记为K，将区间作分划，使得每一子区间长度<e/K，则子区间最大值超过e的这样的区间个数只有有限个，不超过K个，则达布上和<e/K*K+e*1=2e，其中第一项是对最大值超过e的区间求和，总过不超过K项，第二项最大值都小于e，总区间长度之和不超过1（假设在【0 1】上证明）。达布小和>=0，于是达布上和-达布下和<2e

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