函数值域的求法(二次函数值域的求法)

各位老铁们，大家好，今天由我来为大家分享函数值域的求法，以及二次函数值域的求法的相关问题知识，希望对大家有所帮助。如果可以帮助到大家，还望关注收藏下本站，您的支持是我们最大的动力，谢谢大家了哈，下面我们开始吧！

高中函数值域的求法

函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

例2.求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法

例4.求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

例5.求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。

例6.求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7.求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵

∴

解得：

故所求函数的值域为

例8.求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

6.函数单调性法

例9.求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10.求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

当时，

故函数的值域为

例12.求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例14.求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例15.求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16.求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例17.求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

例18.求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例20.求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

10.一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21.求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11.多种方法综合运用

例22.求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例23.求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

函数值域的12种求法

函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

高中数学里函数的值域有哪些求法

求函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；

二次函数的定义域为R，

当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.

例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1)②③④

解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，

∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]

②∵∴

即函数的值域是{ y| y 2}

③

④当x>0，∴=，

当x<0时，=－

∴值域是 [2，+).（此法也称为配方法）

函数的图像为：

2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2求下列函数的最大值、最小值与值域：

①；

解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.

②∵顶点横坐标2 [3,4]，

当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当时，其最小值；

②当a<0时，则当时，其最大值.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若 [a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.

②若 [a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数的值域

方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①

当 y11时∵x?R∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1) 0

由此得(5y+1) 0

检验时（代入①求根）

∵2?定义域{ x| x12且 x13}∴

再检验 y=1代入①求得 x=2∴y11

综上所述，函数的值域为{ y| y11且 y1}

方法二：把已知函数化为函数(x12)

∵ x=2时即

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

4．换元法

例4．求函数的值域

解：设则 t 0 x=1-

代入得

5．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ].如图

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。