抽象代数(抽象代数期末考试题及答案)

一、抽象代数有什么用

从数学史的角度来说，抽象代数这个学科分支是作为现代数学的起源之一而存在的。但为了更好的讨论抽象代数，我们现合规的讨论一下代数学，这个数学三大分支中的一支。在丢番图时代开始（16世纪60年代左右）代数学中最重要的一个问题是求解代数方程的根，这个问题非常有趣，譬如这些工作中有费尔马、笛卡尔的工作，笛卡尔更是在《方法论》和《几何学》中初步的建立了解析几何，甚至也给出了一个代数基本定理的初始版本/猜想。

你渴望力量么？

这个时候，我们先回到之前所说的，求解代数方程根的问题，结合代数基本定理来说，我们可以断定，任何一个n次多项式方程[公式]，总恰好有n个复数根。（略去证明，这个可以找高等代数的教材复习一下）但这时候有一个问题是，我们怎么去找根？

插入一个做数学分析题的时候常用的套路，我们总是可以先证明存在然后去求解，现在我们知道了有解，那么问题来了，我们怎么求解？

欧拉、范德蒙德、华林等等都做过非常多的尝试，但最重要的三个工作出现在了拉格朗日、阿贝尔和高斯的工作。

我们常常见面，我的中值定理你可还熟悉？

1771年，拉格朗日发表了《对方程的代数解法思考》尝试去分析方程根的一般原理，通过二次方程和三次方程确定了四次方程的解析解。同时，对五次以及五次以上的方程的解法提出了畅想。而随后他的学生Ruffini怀疑这种做法的可行性。但真正的突破是在19世纪20年代的时候完成。即，阿贝尔证明的不能用根式解五次方程，换句话说，代数方法不可行。但是问题来了，有没有特殊的方程可以那么做呢？

朋友，群论来了解一下。

这个时候，高斯横空出世，高斯在这个问题上的突破在于，花式利用拉格朗日的方法，并自己分析出了尺规作图17边形的方法。而且发展出了一个重要的理论，模算数，而模算数后面提供了循环群的本源元素（生成元）的重要思想和理论依据。

我的分布是正态，我不是正太，抬走，下一个

而在他们的工作之后，时间到了1860年，另一位代数学的巨人出现了——伽罗瓦。可以那么说，伽罗瓦设计了一个理论程序，他可以用于判断是否这个多项式存在根的显式算法。这个时候，代数学的两个基础概念，群和域被正式的引入了数学大厦中，当然那个时候的群论也是不完整的，伽罗瓦引入的是置换群。在这个问题上，伽罗瓦开始关心的是群的结构，并创造性地完成了这个研究。

确认过眼神，这个人学不懂我的理论。

未来需要补充的，关于伽罗瓦的工作简述。

在之后很多工作就围绕着逐步加强刘维尔、伽罗瓦等人的工作展开了，而到了近现代，大家的工作就开始讨论“数”这个东西到底是什么玩意。哈密顿、凯莱等人做了类似于八元数的工作后，我们更多的关注到了，结合律、交换律等我们平时习以为常的东西，实际上，是非常优秀的性质，而这些东西，包括单位元、逆元最终组成了一种自立的数学结构，而这种结构，我们现在就称呼他为代数，更进一步，也能讨论到了抽象代数。1900年后，那么就大部分在做群、环、域结构的认知，分类的认知，后续公理化的内容就不在叙述。

当然，在研究一些非欧几何的问题的时候，就开始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和正常的环比起来就不再有A、B面了。这个概念在拓扑上比较有用;

现在开始说说应用吧，从知乎的群体来说，其实最早应该说的就是计算机方面的，尤其是编程方面的应用。

二、怎样学习抽象代数

1、抽象代数（近世代数）不需要其他的基础知识（有线性代数或高等代数的知识更好），主要是研究群、环、域里面的性质。其中你只要主意一点，弄清楚符号所代表的东西，他们之间的运算、性质等，举个简单的例子：a是群里面的一个元素，它可以代表一个数（实数复数等）、可以代表一个矩阵（具有某种性质，如是对角的、可逆的，n阶的等）、可以代表一个映射，甚至可以代表一个集合（群、环、域），同时弄清楚他们的运算+或×代表什么运算，如果你能弄清楚这个，那么学起来就水到渠成了！

2、学泛函分析要修几门课程（数学分析、高等代数、实变函数）这么课程对于非数学专业的来说就稍微困难一点，我不想啰嗦，就说几点：弄清楚赋范线性空间里面的范数，线性空间里面的元素，赋范线性空间的性质，这么课程不是很好学但很强大，你要做好心理准备！

3、拓扑学（就简单说一下点集拓扑学），点集拓扑需要的修的课程是数学分析，最要有集合论里面的基础。点集拓扑主要是研究拓扑空间的不变性质，包括连通性、可数性公理、诸分离性公理、紧致性等，当然要弄清楚什么是拓扑空间，什么是拓扑空间的性质、结构！啰嗦一句：拓扑同样强大，但是也很难学！

ps：前面所提到的数学分析是是数学专业的基础课，如果是其他的如微积分或高等数学，学这几门课程同样困难，切记！

三、抽象代数是什么时候学的

抽象代数通常在大学二年级或三年级时学习。

抽象代数是数学的一个分支，主要研究代数结构、概念和性质，包括群、环、域、模等。它是一种高度抽象和形式化的数学方法，需要学生具备一定的数学基础和抽象思维能力。

在大多数情况下，学生在完成基础的数学课程（如高等数学、线性代数等）后，才能更好地理解和掌握抽象代数。

所以，抽象代数通常在大学二年级或三年级时学习。

抽象代数也被广泛地应用于其他数学分支和科学领域，如物理学、计算机科学等，因此它也成为许多专业学生的必修课程。