点集，数轴上的点集

一、什么叫聚点

聚点，多义词，一是指高等数学中又被叫做“极限点”的定义，即：设E是数轴上的无限点集，P是数轴上的一个定点(可以属于E,也可以不属于E)。

若任意的e大于0，点P的e邻域U（P，e）都含有E的无限多个点，则称P是E的一个聚点。

另一种是用iebook超级精灵电子杂志制作软件制作的电子杂志名称。

二、数集和点集有什么区别

定义不同,数集就是数的集合。集合的范围比数集的范围大,数集只是集合中的一种而已。点集只是元素是点的集合(由点构成的“一元组”),不是关系,因此不是函数。

三、什么是可数点集

可数点集（Countableset），是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。

如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。

比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

定义

可数集的一个定义是“能与自然数集的某个子集一一对应的集合”。

在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。

可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。

“可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。

两个定义的差别在于有限集合是否被视为可数集。

为了避免歧义，前一种意义上的“可数”有时称为“至多可数”，后一种“可数集”则又称为“无限可数集”。

新定义

可列和可数在英文里是一个词：countable，这是以前科学不够发达，不需要进行区分时的结果。而我们需要进行概念区分，因此按字面意思，将“可列”理解为“可以写出”；“可数”理解为“可以记数”。在下面的论述中，分这样两个概念讨论。我们无法写出一个最大的自然数，因此自然数全体是不可写全的，任何无限集，都是不可写全的。如果有一些数，位数多的我们承认有生之年无法完全比较，而在可比较的范围内它们又一样，这样我们在数元素个数时，不知道它们该算一个元素还是多个元素，这种情况，称为不可记数。

从定义可以看出，不可写全的数，如果我们发现它的一部分，和集合中的其它元素都不一样，我们就知道它是一个独立元素，就可以记数。而不可记数的数，我们可能可以知道它的数量范围（最大数量每个算一个元素，最小数量认为只有一个元素），或者也可以知道它们都是可写的。因此这两个概念是有交叉而互不影响的。无理数除了能用有理数表示的和可以定义的，都是不可列的。