二叉树的性质(二叉树的基本性质)

一、什么是不平衡二叉树

它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;

很显然，平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的，就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降，那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn)，所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡

二、高度为k的二叉树最多有几个结点

一颗深度为k的二叉树，最多有(2^k)-1个节点，第k层最大节点数为2^（k-1）次方。

性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点。

性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点。

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。

性质4：具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）。

三、二叉树的叶子结点是什么

如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，这棵二叉树称为完全二叉树。

可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n0=n2+1，则n=n0+n1+n2（其中n为完全二叉树的结点总数），由上述公式把n2消去得：n=2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=（n+1）/2或n0=n/2，就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

在求树的最大节点数时n1为0还是1要特别注意，有时n1既能为0又能为1，有时只有一种可能。

按常规的思路排好树后，如果最后一个叶子是一个右孩子并且它的父节点不是那一行中最后一个（n1=0的非满树），那就可以让该父节点的左边节点发展一个左孩子，得到一个n1，这时仍满足之前的性质，但总节点数n多了1。