限单元法基本原理和数值方法(限单元法基本原理和数值方法)

一、有限单元法基本原理和数值方法的目录

第1章预备知识

1.1引言

1.2微分方程的等效积分形式和加权余量法

1.3变分原理和里兹方法

1.4弹性力学的基本方程和变分原理

1.5小结

习题

参考文献

第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式

2.1引言

2.2平面问题3结点三角形单元的有限元格式

2.3广义坐标有限单元法的一般格式

2.4有限单元解的性质和收敛性

2.5矩形单元和高精度三角形单元

2.6轴对称问题的有限元格式

2.7空间问题有限元

2.8小结

习题

第3章单元和插值函数的构造

3.1引言

3.2一维单元

3.3二维单元

3.4三维单元

3.5阶谱单元

3.6小结

习题

第4章等参单元和数值积分

4.1引言

4.2等参变换的概念和单元矩阵的变换

4.3等参变换的条件和等参单元的收敛性

4.4等参元用于分析弹性力学问题的一般格式

4.5数值积分方法

4.6等参元计算中数值积分阶次的选择

4.7小结

习题

参考文献

第5章有限单元法应用中的若干实际考虑

5.1引言

5.2应力计算结果的性质与处理

5.3子结构法

5.4结构对称性和周期性的利用

5.5非协调元和分片试验

5.6小结

习题

参考文献

第6章线性方程组的解法

6.1引言

6.2系数矩阵在计算机中的存储方法

6.3高斯消去法

6.4三角分解法

6.5追赶法

6.6分块解法

6.7波前法

6.8雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法

6.9超松弛迭代法

6.10小结

习题

第7章有限单元法程序的结构和特点--典型有限远程序介绍

7.1引言

7.2有限元分析本体程序

7.3网格生成技术

7.4等值线的绘制

7.5小结第8章有限单元法的进一步基础--广义变分

8.1引言

8.2约束变分原理

8.3弹性力学广义变分原理

8.4弹性力学修正变分原理

8.5小结

习题

第9章杆件结构力学问题的有限单元法

9.1结构有限单元概论

9.2等截面直植-梁单元

……

第10章平板弯曲问题的有限单元法

第11章轴对称壳体问题的有限单元法

第12章一般壳体问题的有限元法

第13章热传导问题的有限单元法

第14章动力学问题的有限单元法

第15章材料非线性问题的有限单元法

第16章几何非线性问题的有限单元法

主要参考书目

二、除有限单元法外,岩土工程常用到哪些数值方法,并对比其优缺点

岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。

有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。

有限差分法：该方法适合求解非线性大变形问题，在岩土力学计算中有广泛的应用。有限差分法和有限单元法都产生一组待解方程组。尽管这些方程是通过不同方式推导出来的，但两者产生的方程是一致。另外，有限单元程序通常要将单元矩阵组合成大型整体刚度矩阵，而有限差分则无需如此，因为它相对高效地在每个计算步重新生成有限差分方程。在有限单元法中，常采用隐式、矩阵解算方法，而有限差分法则通常采用“显式”、时间递步法解算代数方程。

边界元法：该方法的理论基础是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要离散求解域的边界，因而得到离散代数方程组中的未知量也只是边界上的量。边界元法化微分方程为边界积分方程，离散划分少，可以考虑远场应力，有降低维数的优点，可以用较少的内存解决较大的问题，便于提高计算速度。

离散元法：离散元法的理论基础是牛顿第二定律并结合不同的本构关系，适用对非连续体如岩体问题求解。该方法利用岩体的断裂面进行网格划分，每个单元就是被断裂面切割的岩块，视岩块的运动主要受控于岩体节理系统。它采用显式求解的方法，按照块体运动、弱面产生变形，变形是接触区的滑动和转动，由牛顿定律、运动学方程求解，无需形成大型矩阵而直接按时步迭代求解，在求解过程中允许块体间开裂、错动，并可以脱离母体而下落。离散元法对破碎岩石工程，动态和准动态问题能给出较好解答。

颗粒元法：颗粒元方法是通过离散单元方法来模拟圆形颗粒介质的运动及其相互作用，它采用数值方法将物体分为有代表性的多个颗粒单元，通过颗粒间的相互作用来表达整个宏观物体的应力响应，从而利用局部的模拟结果来计算颗粒群群体的运动与应力场特征。不连续变形分析方法：该方法是并行于有限单元法的一种方法，其不同之处是可以计算不连续面的错位、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。此方法在岩石力学中的应用备受关注。

流形元法；该方法是运用现代数学“流形”的有限覆盖技术所建立起来的一种新的数值方法。有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成的，它可以处理连续和非连续的问题，在统一解决有限单元法、不连续变形分析法和其他数值方法的耦合计算方面，有重要的应用前景。

无单元法：该方法是一种不划分单元的数值计算方法，它采用滑动最小二乘法所产生的光滑函数去近似场函数，而且又保留了有限单元法的一些特点。它只要求结点处的信息，而不需要也没有单元的信息。无单元法可以求解具有复杂边界条件的边值问题，如开裂问题，只要加密离散点就可以跟踪裂缝的传播。它在解决岩石力学非线性、非连续问题等方面具有重要价值和发展前景。

混合法：对于复杂工程问题，可采用混合法，即有限单元法、边界元法、离散元法等两两耦合来求解。

模糊数学方法：模糊理论用隶属函数代替确定论中的特征函数描述边界不清的过渡性问题，模糊模式识别和综合评判理论对多因素问题分析适用。概率论与可靠度分析方法：运用概率论方法分析事件发生的概率，进行安全和可靠度评价。对岩土力学而言，包括岩石（土）的稳定性判断、强度预测预报、工程可靠度分析、顶板稳定性分析、地震研究、基础工程稳定性研究等。

灰色系统理论：以“灰色、灰关系、灰数”为特征，研究介于“黑色”和“白色”之间事件的特征，在社会科学及自然科学领域应用广泛。岩土力学中，用灰色系统理论进行岩体分类、滑坡发生时间预测、岩爆分析与预测、基础工程稳定性、工程结构分析，用灰色关联度分析岩土体稳定性因素主次关系等。

人工智能与专家系统：应用专家的知识进行知识处理、知识运用、搜索、不确定性推理分析复杂问题并给出合理的建议和决策。岩石力学中，可进行如岩土（石）分类、稳定性分析、支护设计、加固方案优化等研究。神经网络方法：试图模拟人脑神经系统的组织方式来构成新型的信息处理系统，通过神经网络的学习、记忆和推理过程进行信息处理。岩石力学中，用于各种岩土力学参数分析、地应力处理、地压预测、岩土分类、稳定性评价与预测等。

时间序列分析法：通过对系统行为的涨落规律统计，用时间序列函数研究系统的动态力学行为。岩石力学中，用于矿压显现规律研究、岩石蠕变、岩石工程的位移、边坡和硐室稳定性等、基础工程中降水、开挖、沉降变形等与时间相关的问题。

三、有限单元法基本原理和数值方法的内容提要

本书为原1988年版的改写和再版，它反映了有限单元法的新进展以及作者从事本课程教学的新经验，比原版有较大的改动。全书分两篇。第一篇为基本部分，有七章，包括作为有限元单元法理论基础的加权余量法和变分原理，弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式，单元和插值函数的构造，等参单元和数值积分，有限单元法应用中的若干实际考虑，线性方程组解法和有限单元法程序的结构和特点。第二篇为专题部分，有九章，包括有限单元法的进一步理论基础--广义变分原理和杆件结构力学、平板弯曲、轴对称壳体、一般壳体、热传导、动力学、材料非线型、几何非线型等八个专门问题的有限单元法。每一章后面附有习题和思考题，有的章还附有典型计算程序或子程序。第一篇和第二篇分别适合本科生和研究生教学的基本要求。编写的重点是有限单元法的基本原理及表达格式的建立途径，单元插值函数和特性矩阵的构造及不同单元特性的比较，各种数值方法的原理、分析比较和计算执行。