特征多项式，矩阵的特征多项式怎么求

一、最小多项式求法

最小多项式(minimalpolynomial)是代数数论的基本概念之一。由Cayley-Hamilton定理，A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

最小多项式的求解方法

方法：

1、先将A的特征多项式

在P中作标准分解，找到A的全部特征值

2、对

的标准分解式中含有

的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。

例：

的最小多项式。

解：A的特征多项式为：

又

故A的最小多项式为

特征多项式的解法

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

3、试根法分解因式

二、矩阵，相似，特征多项式

不一定。两个矩阵相似那么这两个矩阵有相同的特征多项式，这是一个必要条件，并不充分（就是说还不够全面）。全面的说应该是还要有相同的特征值。或者和在一起说两个矩阵有相同的初等因子。

矩阵可对角化的条件是这个矩阵的最小多项式没有重根，这里我举的反例显然不满足要求，所以不可对角化，自然也不与单位阵相似。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、求出全部的特征值；

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端|A-λE|是λ的n次多项式。

把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

三、为什么特征多项式等于0

特征多项式等于0意味着其所描述的矩阵具有相同的特征向量，即同样的特征值。这种情况下，那些特征值就会相互覆盖，这也就意味着矩阵的行列式等于0。因此，特征多项式等于0只是表明了其描述的矩阵行列式等于0，而不是表明它们具有特定的特征特性。