子空间 如何判断是否为子空间

一、线性代数中什么是线性子空间

线性代数中，线性子空间是指向量空间中的一个子集，该子集满足以下条件：

1）该子集中的任意两个向量之和也在该子集中。

2）该子集中的任意一个向量都可以乘以一个标量，使得结果仍然在该子集中。

线性子空间可以通过一组基来描述，其中基是该子空间中的一组线性无关向量。通过基，我们可以将子空间中的任何向量表示成一组系数的线性组合。

二、构成子空间的条件

线性代数中子空间的定义

设W为数域F上的n维线性空间V的子集合（即W∈V），若W中的元素满足

（1）若任意的α，β∈W，则α+β∈W；（对加法是封闭的）

（2）若任意的α∈W，λ∈F，则λα∈W。（对数乘也是封闭的）

（3）子空间中必须包含“0向量”

则容易证明：W也构成数域F上的线性空间。称W是线性空间V的一个线性子空间，简称子空间。

三、闭子空间定义

完备空间一定是闭子空间。

任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X,M)是一个完备度量空间。