转置矩阵与原矩阵相乘？转置矩阵与原矩阵的乘积

一、什么时候矩阵乘它的转置等于1

行矩阵A即1*n的矩阵

那么其转置A^T为n*1矩阵

于是二者相乘AA^T为1*1矩阵

即一个数字

实际上A=(a1，a2，...，an)

乘以A^T之后得到的就是a12+a22+...+an2

即向量模长的平方值为1

当然说明了向量模长为1

把矩阵a的行换成相应的列，得到的新矩阵称为a的转置矩阵，记作at或a’

基本性质

(a±b)'=a'±b'

(a×b)'=b'×a'

(a')'=a

(λa')'=λa

det(a')=det(a)，即转置矩阵的行列式不变

所以转置后相乘和相乘后转置，也就是（a'×b'）和a'×b'一般是不相等的。

必须是转置后相乘和相乘后转置两个之间的左右乘位置对调才相等。

即（a'×b'）和b'×a'才是相等的。

而b'×a'和a'×b'一般是不相等的，矩阵乘法一般不满足乘法交换律。

矩阵乘以矩阵的转置，等于矩阵乘以矩阵自己，只有矩阵本身是单位矩阵E，单位矩阵乘以单位矩阵结果还是一个单位矩阵。

二、矩阵和矩阵转置共轭的乘积

如果A是正交矩阵，那相乘就等于单位矩阵了，如果不是，那就是他们俩相乘。

若B为n阶Hermite正定矩阵，则存在n阶矩阵A且A为下三角矩阵，使得B等于A乘以A的共轭转置。放在实数域内就是A乘以A的转置矩阵了，呵呵，其实这就是所谓矩阵的Cholesky分解。

三、原矩阵乘以转置矩阵等于什么

只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵等于矩阵乘以矩阵的转置。

如果矩阵不是方阵：

转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n；原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。这两个矩阵不是同型矩阵，不相等。

扩展资料

如果矩阵是方阵：

（1）对称矩阵（转置矩阵=原矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

（2）反对称矩阵（转置矩阵=原矩阵的负矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

（3）正交矩阵（逆矩阵=转置矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

将矩阵的行列互换得到的`新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

对称矩阵（SymmetricMatrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。