椭圆曲线 椭圆圆锥曲线

一、椭圆曲线与方程

椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6所确定的平面曲线。

若F是一个域，ai∈F,i=1,2,…,6。满足式1的数偶(x,y)称为F域上的椭圆曲线E的点。F域可以是有理数域，还可以是有限域GF(Pr)。椭圆曲线通常用E表示。除了曲线E的所有点外，尚需加上一个叫做无穷远点的特殊点O。表达式:y2=x3+ax+b(modp)。

二、椭圆曲线的来历

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线。对于特征不等于2的域，它的仿射方程可以写成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面。Mordell证明了整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群，这是著名的BSD猜想的前提条件。阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广。

三、椭圆求导公式

设椭圆方程是

x^2/a^2+y^2/b^2=1

两边对x求导有：2x/a^2+2yy'/b^2=0

y'=-xb^2/(a^2y)

因为求导表示的是切线斜率

简单来说，假设某点（x0,y0)在椭圆上

那么过这点的椭圆切线斜率为k=-x0b^2/(y0a^2)

过这点的切线方程是：

y-y0=-x0b^2/(y0a^2)(x-x0)

整理得

xx0b^2+yy0a^2=y0^2a^2+x0^2b^2=a^2b^2

即过点(x0,y0)的切线方程是

xx0/a^2+yy0/b^2=1