欧式空间还是欧氏空间(非欧几里得空间)

一、三维欧氏空间定义

三维欧氏空间实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。

三维欧氏空间处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔，瓶盖等等。

毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。

尤得塞斯建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

三维欧氏空间中有4个公理

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4平行于同一条直线的两条直线平行。

二、解释一下：欧氏空间和黎曼空间

01：欧几里德空间(EuclideanSpace)，简称为欧氏空间(也可以称为:平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

02：黎曼空间

常曲率黎曼空间

Riemannianspaceofconstantcurvature

截面曲率为常数的黎曼流形，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,高斯曲率K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K

局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K

人们对常曲率黎曼空间感兴趣的原因在于这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,直观地说,这类空间是均匀各向同性的。它也同时作为共形平坦空间、爱因斯坦空间、齐性黎曼流形或对称黎曼空间等特殊黎曼流形的一类重要的例子。把它作为模型研究清楚以后，通过与这些标准的模型进行诸如曲率等几何量的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质。

三、为什么要研究欧式空间

可以从代数和几何两个方面上来讲.代数方面,首先每个对称矩阵A唯一对应于一个二次型x'Ax.因此对称矩阵对二次型的研究有着重要的作用.

二次型是什么呢?从代数角度上讲,他是一个函数.是n唯向量x到"数"的映射.因此研究对称矩阵有助于研究二次型进而,在二次型的概念下.可以对矩阵进行合同分类(如同在线性变换的概念下对矩阵进行相似分类一样).我们以前学习过矩阵的相似,他把具有相同性质的矩阵划归到了一起,

例如两个矩阵相似他们的行列式\迹和特征值都分别相等.合同也是为了将矩阵分类,比如正定,负定矩阵.我要说的是研究对称矩阵本身是为了在合同的代数概念下对矩阵进行一个分类,合同这种概念由于是从二次型那里来的所以只对对称矩阵产生作用.