泛函(向量函数)

一、泛函的定义

简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。

设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x)恒有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。

泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数，y(x)称为泛函П的变量函数。

泛函П(y(x))与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。

泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数

泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为宗量。

简言之，泛函就是函数的函数。

二、泛函的性质

泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

中文名

泛函

外文名

functional

性质

函数的函数

内容

从函数空间到数域的映射

常见泛函

线性泛函和二次型泛函

三、泛函，举例

为了做比较，先说一下函数。