无穷间断点的定义(间断点怎么求)

一、什么是连续点跳跃间断点

1.连续点的定义是:如果函数在某一邻域内有定义，且x-\u003ex.时limf(x)=f(x.),就称x.为f(x)的连续点。一个推论,即y=f(x)在x.处连续等价于y=f(x)在x.处既左连续又右连续,也等价于y=f(x)在x.处左、右极限都等于f(x.)。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续

2.跳跃间断点是左极限不等于右极限，而可去间断点是左极限等于右极限但是不等于在这一点的函数值

极限为常数时，属于第一类且为可去间断点；左右极限存在但不相等时，属于第一类间断点且为跳跃间断点；左右极限至少有一个不存在时，属于第二类；极限趋于无穷时，属于第二类的无穷间断点。

跳跃间断点是使指左极限f（x-）与右极限f（x+）都存在的间断点，且f（x-）≠（x+），可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点，左右极限存在是前提。

间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、震荡间断点，左右极限相等，但不等于该点函数值f（x0）或者该点无定义时，称为可去间断点。非第一类间断点即为第二类间断点。

二、无穷间断点怎么求

求函数的无穷间断点详细过程。

f(x)=sin(x+1)/【（x+1)(x-2)】

可能的点是分母为0时的点

就是

x=-1或x=2

①当x趋向于-1时

limsin(x+1)/（x+1)=1,于是

limf(x)=lim1/(x-2)=-1/3是可去间断点

②还有当x趋向于2

sin(x+1)是有界函数，

分母【（x+1)(x-2)】趋向于0

于是

limf(x)=无穷

于是无穷间断点就是

x=2

三、什么是无穷间断点

当x趋向于x0时，f（x）趋向于无穷大，故x=x0为无穷间断点，而且只要左右极限中，任意一个极限等于无穷大，那么这个点就是无穷间断点。

间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、震荡间断点，其中可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。

定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。