二重积分典型例题解析，计算二重积分的例题详细讲解

一、二重积分矩形区域例题

一般二重积分不等于两次积分直接相乘。如f(x,y)=g(x)h(y)，且积分区域是矩形区域[a,b]×[c,d]，则二重积分等于g(x)在[a,b]上定积分与h(y)在[c,d]定积分的乘积。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

二、二重积分奇偶性和对称性证明

二重积分的奇偶性和对称性证明如下：

1.奇偶性：若函数$f(x,y)$满足$f(-x,-y)=f(x,y)$，则有以下结论：

（1）若被积函数为偶函数，即$f(-x,-y)=f(x,y)$，则有$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{D_+}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$为积分区域，$D_+$为$D$中的右半部分。

（2）若被积函数为奇函数，即$f(-x,-y)=-f(x,y)$，则有$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$。

2.对称性：若函数$f(x,y)$满足$f(x,y)=f(y,x)$，则有以下结论：

（1）对于关于$y=x$对称的区域$D$，有$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_Df(y,x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。

（2）对于关于$y=-x$对称的区域$D$，有$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_Df(-y,-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。

三、利用极坐标计算二重积分的典型例题

以下要注意在解题中除了利用上述知识外，还要充分利用积分区域和被积函数的特点。具体如下：

1、什么时候采用极坐标计算二重积分？（利用极坐标计算时被积函数和积分区域的特点。）

2、利用极坐标求二重积分的基础例题。

3、一个比较简单的考研题目。

4、对称性在极坐标法求二重积分中的应用。

5、轮换对称性在极坐标法求二重积分中的应用。