向量组的线性相关性 向量组的线性相关性思维导图

一、判断向量组线性相关性

关于这个问题，判断向量组线性相关性可以通过计算向量组的秩或者求解线性方程组来得出。具体步骤如下：

1.将向量组表示成矩阵形式，即将每个向量作为矩阵的一列。

2.对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵。

3.根据阶梯形矩阵的形式，判断向量组的秩。如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。

另一种方法是求解线性方程组Ax=0，其中A为向量组所对应的矩阵，x为未知向量。如果方程组有非零解，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。

二、什么时候向量组线性相关性

1、定义法

令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向

量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

2、向量组的相关性质

①当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要

条件是该向量组线性无关；

②当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；

③通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

④通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；

⑤通过向量组的秩研究向量组的相关性。

三、两个向量组线性相关的含义是什么

向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合

表示，则成为无关。

因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。

注意事项：

两个向量集线性相关的充要条件

是其对应分量成比例，即存在k；所以a1＝ka2，所以这两个向量是线性无关的。

对于任何向量集合，它要么是线性无关的，要么是线性相关的。

如果只有一个向量a，而a是零向量

，那么a是线性相关的；如果a不等于0，那么a是线性无关的。

任何包含0向量的向量集都是线性相关的。