函数？函数也是数吗

一、函数的本质是什么

为了解释函数的本质是什么？有必要知道函数的发展史，通过了解函数的发展历程，我们可以从表面本质彻底的认识函数！

1.伽利略是最早透露出函数概念的，只不过当时用的不是函数这个名词，他指出：用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。

2.随后解析几何出现，直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到：“两个变量之间的关系也一个变量，总是依靠另一个变量而存在”。很遗憾的是，当时大部分函数都被当做曲线来研究，并没有意识到需要提炼出函数这一概念！

3.时间到了1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量，这个时候“function”的词义应该不被翻译成函数，应该翻译成“功能”（个人观点），但是无论如何，1673年是数学历史上第一次见到“function”一词，是历史性的突破！直到现在，依然都是使用它！

1.1718年，伯努力在莱布尼茨的基础上，对函数再次进行了定义：“强调函数需要用公式来表示”，到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。

2.1756年，伟大数学家欧拉给出定义，一个变量的函数是由这个变量和一些数（即常数），以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来，比伯努利的定义更普遍，更具有广泛意义。

不要着急，很接近本质了！

1.1821年，柯西指出一个函数需要有两个变量，一个是自变量，一个是因变量。此时此刻，函数模型非常类似我们初中学的函数概念！

对于柯西这个大佬不用过多介绍，高中生只是知道一个“柯西不等式”，高考还不一定用的上，但是到了大学，柯西才正式登上舞台，会被虐的体无完肤！你有类似的经历么？反正我当年对他是又爱又恨！

2.1837年，狄利克雷（Dirichlet）指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数，自此诞生了函数的经典定义。

3.康托尔建立了集合论，美国数学家维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的概念，同时，打破了变量是数的局限性，变量可以是数，也可以是其他对象。

1930年，新的代现代函数定义为：

现代函数的本质，重点强调“映射”“法则”“对应”“变换”。哪个词都可以，有了这个概念，不仅可以做简单的函数对应，也可以做复合函数的对应。

简单函数：x对应y

复合函数：x对应y，y对应z，如下图，就构成了复合函数！

函数这个词本身是舶来品，“function”这个词在英文中就是功能的意思，那么是谁把它翻译成函数的呢？

答案是清代的数学家李善兰。是他首次将“function”译为“函数”

看完了函数的发展历程，可以看出函数的发展是不断得到严谨化，精确化的过程，逐渐地通过表面现象抽离出函数的本质，这与我们学习函数的过程是一样的！从初中那种单纯的自变量，因变量的关系，到高中在对应法则下，用映射定义出的函数！在到大学多元，多对应的复变函数等等！

二、函数也是数吗

不是。函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数，函数是一种特殊映射。

三、向量是函数吗为什么

向量当然是函数！因为：

任何一个n维实向量(a?,a?,...a?)，就是从正整数集合Z?的子集合N＝{x∈Z?|x≤n}到实数集R的函数：

v:N→R，v(i)＝a_i

而无穷维实向量，就是函数w:Z?→R。

●将上面的实数集合R换成复数集C，就是复向量的情况。

●准确的说上面的函数称为集函数，将上面的函数定义域N替换成R或C，就是我们熟悉的实变函数或复变函数。

●函数是陪域是数域的映射，而映射就是一种特殊的集合到集合的二元关系（请参考我以前的回答），映射（函数）不一定具有解析表达式，上面就是这种情况。

---写给题主---

实矩阵

a??a??...a??

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...

a??a??...a??

可以看成，二元函数，A:N×M→R，A(i,j)＝a_{ij}

其中N同上，M＝{x∈Z?|x≤m}。

不过在线性代数中，矩阵一般不看作二元函数，而是看作行向量组和列向量组。后者相当于A的左科里化（左作用）：

A':N→M→R，A'(i)(j)＝a_{ij}

和右科里化（右作用）：

A'':M→N→R，A''(j)(i)＝a_{ij}。

（特别的，n阶方阵的行列式，是一种n个n维向量空间上的函数，即，det：V?→R，详见我以前的回答。）