三角形垂心？三角形垂心的3个结论

一、三角形的垂心是什么

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.

锐角三角形垂心在三角形内部.

直角三角形垂心在三角形直角顶点.

钝角三角形垂心在三角形外部

二、三角形垂心的定理

是成立的。是指，三角形的三条高线交于一点，该点称为垂心。三角形垂心与三个顶点之间形成了三条垂线，且垂线长度相等，可以相互垂直。此外，垂心到三角形三边的距离乘积相等。这个定理在三角形的一些证明中具有重要作用。

三、三角形垂心的推导

三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.其性质包括：1.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.垂心外心内心三心共线.3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F求证：CF⊥AB证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此,垂心定理成立!这里不方便画图,我就用文字来表达了

画任意一个三角形ABC,垂心为D,外心为E,设B垂AC于F,

C垂AB于H,做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角

S为△ABC的面积

由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R

由图像得∠c=∠BEH

∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)

CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH

AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2

代入上式得CD=AB/tanc=2DH