笛卡尔积 计算机中的笛卡尔积

一、笛卡尔积的概念及其操作原理

在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesianproduct），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。假设集合A=a,b，集合B=0,1,2，则两个集合的笛卡尔积为(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.

笛卡尔积的符号化为：

A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

例如，A={a,b},B={0,1,2}，则

A×B={(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}

B×A={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

运算性质

1.对任意集合A，根据定义有

AxΦ=Φ，ΦxA=Φ

2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即

AxB≠BxA（当A≠Φ∧B≠Φ∧A≠B时）

3.笛卡尔积运算不满足结合律，即

（AxB)xC≠Ax(BxC）（当A≠Φ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即

Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC)

(B∪C)xA=(BxA）∪（CxA)

Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC)

(B∩C)xA=(BxA）∩（CxA)

二、什么是广义笛卡尔积运算

广义笛卡尔积运算是指在数学中，将多个集合的元素进行组合的操作。它的结果是一个新的集合，其中的元素由原始集合中的元素按照一定规则组合而成。

广义笛卡尔积运算可以用于解决组合问题，例如在计算机科学中，可以用于生成所有可能的组合或排列。在实际应用中，广义笛卡尔积运算常用于数据库查询、集合论、组合数学等领域。

三、什么是笛卡尔积运算

有A集合学生与B集合老师，他们如果没有WHERE的关系约束，则连接（JOIN）后就会产生所有可能出现的阵列乘积，即笛卡尔积。e.g:A{S1,S2}B{T1,T2}A与B笛卡尔积后（注意，不可以像乘法那样实体关系可以进行交换乘机位置。）

A*B={<S1,T1>,<S1,T2>,<S2,T1>,<S2,T2>}