均值不等式的证明，高中四个均值不等式链

一、均值不等式推广形式怎么证明

均值不等式的推广形式通常是指对于非负实数，它们的几何平均数总是小于或等于它们的算术平均数。要证明这一推广形式，我们可以按照以下步骤进行：第一步，根据算术平均数和几何平均数的定义，我们知道算术平均数等于所有数的和除以数的个数，而几何平均数等于所有数的乘积的平方根除以数的个数。第二步，利用算术平均数和几何平均数的性质，我们可以得到算术平均数总是大于或等于几何平均数。第三步，为了证明这一点，我们可以将算术平均数和几何平均数的差进行化简，得到它们的差等于所有数的和与所有数的乘积的平方根的商减去1。第四步，进一步化简得到它们的差等于所有数的乘积的平方根与所有数的平方和的商减去1。第五步，由于所有数都是非负实数，所以它们的乘积的平方根和它们的平方和都是非负实数。因此，它们的商也是非负实数。第六步，由于任何非负实数都大于或等于0，所以它们的商减去1总是大于或等于0。第七步，因此，我们证明了对于非负实数，它们的几何平均数总是小于或等于它们的算术平均数。

二、对均不等式推导过程

均值不等式是a^2+b^2>=2ab

先证明√（（a^2+b^2）/2）>=（a+b）/2

两边平方得（a^2+b^2）/2>=(a+b）^2/4

移项合并同类项，即得均值不等式

再证调和平均数<=几何平均数

将不等式左边的分母移到右边，乘出来，发现还是均值，得证

三、三次均值不等式公式证明

任意3个正数a、b、c，a+b+c+(abc)^(1/3)

=

(a+b)+[c+(abc)^(1/3)]

≥

2(ab)^(1/2)+2[c^(2/3)]*(ab)^(1/6)

≥

4(abc)^(1/3)，当且仅当

a=b，c=(abc)^(1/3)，(ab)^(1/2)=[c^(2/3)]*(ab)^(1/6)

时，即

a=b=c

时

等号都成立，移项即得三元均值不等式