尺度函数 什么是尺度函数,小波函数

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小波包双尺度函数的数学表达

小波包（WP）是由Coifman et al.在小波变换的基础上提出的。小波包变换不仅对低频分量进行分解，而且对高频部分提供更精细的分解，能够更为精确地确定信号所包含的频率成分，是一种更广泛的小波分解方法（孙煜等，2005；王云松等，2005）。

4.1.2.1小波包变换的数学定义

小波包分解是建立在多分辨率分析的基础上。在多分辨率的小波分析中，平方可积空间表明其小波分析是按照不同的尺度因子j把L2（R）分解为所有子空间Wj（j∈Z）的正交和。其中Wj为小波函数ψ（t）的闭包（小波子空间）。进一步对小波子空间Wj按照二进制进行频率细分可达到提高频率分辨率的目的。一种自然做法是将尺度空间Vj和小波子空间Wj用一个新的子空间统一起来表征（杨超等，2004），令

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定义子空间是函数μn（t）的闭包子空间，而是函数μ2n（t）的闭包子空间，定义下面的递推子关系，并令μn（t）满足递推子关系的双尺度方程（Coifman et al.，1992；孙煜等，2005；王云松等，2005）：

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式中：递归定义的函数μn（n＝1，2，…）称为由正交尺度函数μ0（t）＝ψ（t）确定的小波包。其中，hk、gk、（k∈Z）分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。gk＝（－1）kh1－k，即两系数也具有正交关系。而当n＝0时，μ0（t）＝ψ（t），μ1（t）＝ψ（t），由上式得到：

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式中：μ0（t）和μ1（t）分别为尺度函数和小波函数的双尺度方程。显然μ0（t）和μ1（t）分别退化为尺度函数ψ（t）和小波基函数ψ（t）。序列｛μn（t）｝（n∈Z＋）称为由正交尺度函数μ0（t）＝ψ（t）确定的小波包，或称序列｛μn（t）｝为关于序列｛hk｝的正交小波包。

对任意非负整数n∈Z＋和任一整数j∈Z，令表示由小波包μn的二进伸缩和平移的线性组合合成的L2（R）的闭子空间，则：

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式中：｛Vj｝是由尺度函数U0＝ψ生成的L2（R）的多分辨分析；｛Wj｝是由小波U1＝ψ生成的正交小波子空间序列。

4.1.2.2小波包的空间分解与重构算法

根据尺度函数μ0（t）＝ψ（t）和小波函数μ1（t）＝ψ（t），利用式（4.2）、式（4.3）可得到如下空间分解：

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令｛μn（t）｝n∈z是关于低通滤波系数hk的小波包族，用下式生成子空间族。令n＝1，2，…；j＝1，2，…，并对上式作迭代分解，得Wj的分解（图4.2），有：

图4.2小波空间的小波包子空间完全分解示意图

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在实际应用中，通常关心的是L2（R）的某个子空间的小波分解和小波包分解（Wu Yet al.，1996）。小波包分解有如图4.2的分解关系。可以有不同的分解，对应的VL中的信号f（t）∈VL可以用不同的基的组合来表示，通常以信息代价函数为标准，选取该信号的最优表示。信息代价函数有不同的定义，但它必须能反映出将信号（或函数）在这组基下展开时所需要的计算量和存储量等花费。

记信号f（t）在子空间上的小波包系数分别为且l2为L2（R）的平方可积离散序列空间，则由小波包的定义及式（4.6）可得如下的小波包快速分解与重构算法。小波包分解算法：

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在对高光谱影像进行小波包分解以及对影像分解系数进行处理之后，就要恢复成处理结果的图像。小波包变换的重构运算就是小波包分解的逆运算，是将处理后频率域内的系数重新合成时域图像。小波包重构算法：

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式中：hk－2l，gk－2l分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。

什么是尺度函数,小波函数

尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!

对尺度函数的要求

（1）尺度函数与两尺度序列

V0称为参考子空间。多分辨率分析的性质（5）指出，若V0中存在一个尺度函数φ（t）可用标准正交基表示成式（6-66）的形式，即

地球物理信息处理基础

则尺度函数φ（t）的构造由｛hk；k∈Z｝决定，例如，①有限长的两尺度序列对应的尺度函数一定是紧支集的函数，②最短的两尺度序列对应的尺度函数的支集区间一定是最短的。

两尺度序列｛hk；k∈Z｝是尺度函数φ（t）在V-1空间的正交投影，即

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对式（6-66）所表示的两尺度关系式左右两边求傅氏变换

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H（ω）见式（6-71），得

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这是两尺度关系式的频域表示。式（6-66）和式（6-77）的求和在L2（R）上都收敛。H（ω）是L2（［0，2π］）中周期为2π的函数。式（6-78）几乎逐点处处成立，用符号“（a.e.）”（all most everywhere）注明。

（2）成为标准正交基的充分必要条件

式（6-71）定义的H（ω）是hk的傅氏变换用

归一化的结果，其目的是为了简化两尺度关系的频域表示式（6-78）。H（ω）决定着尺度函数的结构，因而十分重要。可以证明φ0，k（t）成为V0的标准正交基的充分必要条件是：

地球物理信息处理基础

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（3）尺度函数与两尺度序列的性质

假设有下列条件成立

1）φ（t）∈L1（R）（绝对可积）

2）

，（a.e.）

3）｛hk｝∈l1，（离散绝对可和的）

由（一）得Φ（ω）是连续函数，由（二）得Φ（0）=1，Φ（2kπ）=0，（0≠k∈Z），那么两尺度序列｛hk；k∈Z｝具有以下性质

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并且有

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为使上式成立，要求无限积分∏H（ω/2k）收敛。此外，还可以导出（G（ω）见式（6-71））

H（0）=1，H（π）=0

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综合以上分析，我们可以归纳出：为了使φj，k（t）=2-jφ（2-jt-k），j，k∈Z构成Vj子空间的正交基，生成元φ（t）（尺度函数）应该具有下列基本性质：

1）尺度函数的容许条件：

。

2）能量归一化条件：‖φ（t）‖2=1。

3）尺度函数φ（t）具有正交性，即＜φ（t-k），φ（t-l）＞=δk，l，∀k，l∈Z。

4）尺度函数φ（t）与基小波函数ψ（t）正交，即＜φ（t），ψ（t）＞=0。

5）两相邻不同尺度的尺度函数φ（t）与φ（2t）相关，即满足双尺度方程（6-66）。

6）母小波函数ψ（t）和φ（2t）相关，即满足小波函数的双尺度方程（6-95）。

将尺度函数的容许条件与小波的容许条件作一对比知：尺度函数的傅氏变换Φ（ω）具有低通滤波特性（相当于低通滤波器，因为

，而小波函数的傅氏变换Ψ（ω）则具有高通滤波特性（Ψ（0）=0。或更确切地说，相当于带通滤波器）。

小波尺度函数如何定义的

尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!

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