变分法？变分和微分的区别

一、变分法基本原理

根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示也被说成是厄米的，描述了在厄米变换下的不变量菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群（广义相对论中被称为规范群）定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理[2]。

变分法是讨论泛函极值的工具，所谓泛函，是指函数的定义域是一个无限维的空间，即曲线空间。在欧氏平面中，曲线的长的函数是泛函的一个重要的例子。一般来说，泛函就是曲面空间到实数集的任意一个映射。

函数的微分定义式为f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有类似的定义：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此处F为h的函数，R=o(h^2).注意，这里和微分不同的是h不一定是无穷小量。设有一个体系，其中能量的有关条件已知，换句话说，已经知道体系的哈密顿算符H。如果不能解薛定谔方程来找出波函数，可以任意猜测一个归一化的波函数，比如说φ，结果是根据猜测的波函数得到的哈密顿算符的期望值将会高于实际的基态能量。变分原理是变分法的基本原理，用于量子力学和量子化学来近似求解体系基态。

二、变分法是什么

变分法是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值或者两者都不是。