糖水不等式(十大著名不等式高中)

一、糖水不等式，君子不等式的性质及证明

a^2(b+c)/(b^2+c^2)-a=[ab(a-b)+ac(a-c)]/(b^2+c^2)=(a-b)ab/(b^2+c^2)+(a-c)ac/(b^2+c^2),

类似的

b^2(c+a)/(c^2+a^2)-b=(b-a)ba/(c^2+a^2)+(b-c)bc/(c^2+a^2),

c^2(a+b)/(a^2+b^2)-c=(c-a)ca/(b^2+a^2)+(c-b)cb/(b^2+a^2),

三个等式两边分别相加，得到

左边=右边=(a-b)^2(a+b)ab/[(b^2+a^2)(a^2+c^2)]+(b-c)^2(b+c)bc/[(b^2+a^2)(c^2+a^2)]+(c-a)^2(c+a)ca/[(c^2+b^2)(a^2+b^2)]>=0,

所以原不等式成立。

二、糖水不等式的局限性

所谓糖水不等式是指一个正的真分数的分子分母同加一个正数，分数的值变大。用数学式表示就是（a+c）/（b+c）＞a/b，其中a，b，c都是正数，并且a＜b。这个不等式的局限性就是只对真分数成立，分子分母所加数必须是正数。

三、加糖定理

a克糖水中有b克糖（a>b>0），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，即可得到不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。在溶液中，判断溶质的质量分数的大小时，经常用到该不等式。