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三角函数积分公式(常见16个定积分公式)

编程之家2024-05-158次浏览

一、三角函数的特殊积分公式

三角函数定积分常用特殊公式:∫cosxdx=sinx+C;∫tanxdx=ln|secx|+C;∫cotxdx=ln|sinx|+C;∫secxdx=ln|secx+tanx|+C。

三角函数积分公式(常见16个定积分公式)

三角函数定积分常用特殊公式:

∫sinxdx=-cosx+C;

∫cscxdx=ln|cscx–cotx|+C;

∫sin2xdx=1/2x-1/4sin2x+C;

∫cos2xdx=1/2+1/4sin2x+C;

∫tan2xdx=tanx-x+C;

三角函数积分公式(常见16个定积分公式)

∫cot2xdx=-cotx-x+C;

∫sec2xdx=tanx+C;

∫csc2xdx=-cotx+C;

∫arcsinxdx=xarcsinx+√(1-x2)+C;

∫arccosxdx=xarccosx-√(1-x2)+C;

∫arctanxdx=xarctanx-1/2ln(1+x2)+C;

三角函数积分公式(常见16个定积分公式)

∫arccotxdx=xarccotx+1/2ln(1+x2)+C;

∫arcsecxdx=xarcsecx-ln│x+√(x2-1)│+C;

∫arccscxdx=xarccscx+ln│x+√(x2-1)│+C

二、常见16个定积分公式

1、∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C,其中n≠-1.

2、∫1/xdx=ln|x|+C,即当n=-1时的幂函数类型.

含有一次二项式类型有如下几个基本公式:

3、∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C.

4、∫x/(a+bx)^2dx=(a/(a+bx)+ln|a+bx|)/b^2+C.

5、∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C.

6、∫x^2/(a+bx)^2dx=(bx-a^2/(a+bx)-2aln|a+bx|)/b^3+C.

7、∫x^2/(a+bx)^3dx=(2a/(a+bx)-a^2/(2(a+bx)^2)+ln|a+bx|)/b^3+C.

8、∫1/(x(a+bx))dx=ln|x/(a+bx)|/a+C.

含有二次二项式的平方和差类型有如下的基本公式:(其中结果出现反三角函数的也可以归为反三角函数类型)

9、∫1/(a^2+x^2)dx=arctan(x/a)/a+C.特别地,当a=1时,∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C.

10、∫1/(x^2-a^2)dx=-∫1/(a^2-x^2)dx=ln|(x-a)/(x+a)|/(2a)+C.

11、∫1/根号(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+C.特别地,当a=1时,∫1/根号(1-x^2)dx=arcsinx+C.

12、∫1/(x根号(x^2-a^2))dx=arccos(a/x)/a+C.特别地,当a=1时,∫1/(x根号(x^2-1))dx=arccos(1/x)+C.

三角函数类型不定积分公式有很多,以下列举出最常见的,它们都是成对出现的:

13、∫sinxdx=-cosx+C;∫cosxdx=sinx+C.

14、∫(sinx)^2dx=(x-sinxcosx)/2+C;∫(cosx)^2dx=(x+sinxcosx)/2+C.

15、∫xsinxdx=sinx-xcosx+C;∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.

16、∫tanxdx=-ln|cosx|+C;∫cotxdx=ln|sinx|+C.

17、∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C;∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C.

18、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C;∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.

19、∫(secx)^2dx=tanx+C;∫(cscx)^2dx=-cotx+C.

同样也有反三角函数类型的不定积分公式:

20、∫arcsinxdx=xarcsinx+根号(1-x^2)+C;∫arccosxdx=xarccosx-根号(1-x^2)+C

21、∫arctanxdx=xarctanx-ln(1+x^2)/2+C;∫arccotxdx=xarccotx+ln(1+x^2)/2+C.

22、∫arcsecxdx=xarcsecx-ln|x+根号(x^2-1)|+C;∫arccscxdx=xarccscx+ln|x+根号(x^2-1)|+C.

最后是指数函数和对数函数形式的不定积分公式:

23、∫a^xdx=a^x/lna+C,特别地,当a=e时,∫exdx=ex+C.

24、∫lnxdx=x(lnx-1)+C.

三、常见三角函数积分公式的推导与总结

1、高等数学中常见的三角函数有六个:sinx,cosx,tanx,cscx,secx,cotx。其中除了sinx和cosx外,其它四个函数的不定积分都不是可以很容易求出的。本节我们利用第一类换元法来推导其它四个三角函数的不定积分公式,其中须要用到这些三角函数的导数公式,以及一些常用的三角恒等式,例如倍角公式等。本节来推导除sinx和cosx以外的四个常用的三角函数的积分公式。

2、tanx和cotx的积分公式的推导。

3、cscx的积分公式的推导。

4、secx的积分公式的推导。

5、三角函数的导数与积分公式总结。

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